Réponse :
déterminer l'emplacement du point M pour que l'aire du rectangle MNOP soit le grand possible
on pose AM = x
on a; (MN) ⊥(AC) et (BH) ⊥ (AC) ⇒ (MN) // (BH) donc d'après le th.Thalès on a; AM/AH = MN/BH ⇔ x/3 = MN/7 ⇔ MN = 7/3) x
le triangle ABH est rectangle en H, donc d'après le th.Pythagore
on a, AB² = AH²+BH² = 3²+7² = 9+49 = 58 ⇒ AB = √58 cm
soit le triangle ANM rectangle en M (car MNOP est un rectangle) donc d'après le th.Pythagore on a; AN² = AM²+MN² = x² + ((7/3) x)² = 58/9) x²
⇒ AN = x/3)√58
BN/BA = NO/AC ⇔ NO * BA = BN * AC ⇔ NO = BN * AC/BA
⇔ NO = (√58 - x/3)√58)*9/√58 = 9 - 3 x
l'aire du rectangle MNOP est : A = MN * NO = 7/3) x * (9 - 3 x)
A = 21 x - 7 x²
soit la forme canonique de A = a(x - α)² + β
a = - 7
α = - b/2a = - 21/- 14 = 3/2
β = A(α) = 21(3/2) - 7(3/2)²
= 63/2) - 63/4 = 63/4
A = - 7(x - 3/2)² + 63/4
Donc pour x = 3/2, l'aire du rectangle MNOP est maximale et son aire maximale est de 63/4
Explications étape par étape