Réponse : Bonjour,
1)a) D'après l'inégalité de majoration de la valeur absolue d'une intégrale:
[tex]|I_{n}|=|\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n})dx| \leq \int_{0}^{1} |\ln(1+x^{n})| dx \leq \max_{x \in [0;1]} \ln(1+x^{n})(1-0)[/tex]
Comme la fonction [tex]x \mapsto \ln(1+x^{n}) \geq 0[/tex], sur l'intervalle [0;1], alors on en déduit que [tex]\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \geq 0[/tex].
On en déduit donc que [tex]|\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx|=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx[/tex].
On en déduit aussi que [tex]|\ln(1+x^{n})|=\ln(1+x^{n})[/tex], pour [tex]x \in [0;1][/tex].
L'inégalité précédente devient:
[tex]I_{n}=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \leq \max_{x \in [0;1]} \ln(1+x^{n})(1-0)[/tex]
Le maximum de [tex]x \mapsto \ln(1+x^{n})[/tex] est [tex]\ln(1+1)=\ln(2)[/tex], car cette fonction est la composée de [tex]x \mapsto 1+x^{n}[/tex] et [tex]x \mapsto \ln(x)[/tex], qui sont deux fonctions croissantes sur [tex]]0;+\infty[[/tex].
On a donc que:
[tex]0 \leq I_{n} \leq \ln(2) \times 1\\0 \leq I_{n} \leq \ln(2)[/tex]
b) On calcule [tex]I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n+1}) dx-\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^{n}) dx[/tex].
Or on sait que pour [tex]x \in [0;1], x^{n+1} \leq x^{n}[/tex], pour tout entier naturel n:
[tex]x^{n+1} \leq x^{n}\\1+x^{n+1} \leq 1+x^{n}\\\ln(1+x^{n+1}) \leq \ln(1+x^{n}) \quad car \; la \; fonction \; \ln \; est \; croissante \; sur \; [0;1][/tex].
On en déduit donc que pour tout [tex]x \in [0;1], \ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^{n}) \leq 0[/tex], et donc que :
[tex]I_{n+1}-I_{n}=\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n+1})-\ln(1+x^{n}) dx \leq 0\\I_{n+1} \leq I_{n}[/tex]
Comme pour tout entier [tex]n \geq 1, I_{n+1} \leq I_{n}[/tex], on en déduit alors que la suite [tex](I_{n})[/tex] est décroissante.
c) La suite I est minorée par 0 et décroissante, on en déduit que la suite I converge.
2)a) On calcule la fonction dérivée g':
[tex]g'(x)=\frac{1}{1+x}-1=\frac{1-(1+x)}{1+x}=\frac{1-1-x}{1+x}=\frac{-x}{1+x}[/tex]
Pour [tex]x \in [0;+\infty[, -x \leq 0[/tex] et [tex]1+x > 0[/tex], on en déduit que sur cet intervalle, [tex]g'(x) \leq 0[/tex].
On en déduit que la fonction g est décroissante sur l'intervalle [0;+∞[.
On a donc le tableau de variations suivant:
x 0 +∞
g'(x) Ф -
g(x) g(0)=0 (décroissant)
b) D'après le tableau de variations précédent, on en déduit que pour [tex]x \in [0;+\infty[, g(x) \leq 0[/tex].
c) A la question précédente, on a vu que pour [tex]x \in [0;+\infty[, g(x) \leq 0[/tex], donc que:
[tex]g(x) \leq 0\\\ln(1+x)-x \leq 0\\\ln(1+x) \leq x[/tex]
De plus, pour [tex]x \in [0;+\infty[, x^{n} \geq 0[/tex], donc [tex]x^{n} \in [0;+\infty[[/tex].
On a donc que pour [tex]x \in [0;+\infty[, g(x^{n}) \leq 0[/tex], et donc que:
[tex]g(x^{n}) \leq 0\\\ln(1+x^{n})-x^{n} \leq 0\\\ln(1+x_{n}) \leq x^{n}[/tex]
Donc pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex] et pour tout [tex]n \geq 1, \ln(1+x^{n}) \leq x^{n}[/tex].
3) D'après la question précédente, pour tout [tex]x \in [0;+\infty[[/tex], et pour tout entier [tex]n \geq 1, \ln(1+x^{n}) \leq x^{n}[/tex], donc:
[tex]\ln(1+x^{n}) \leq x^{n}\\\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \leq \int_{0}^{1} x^{n} dx\\\int_{0}^{1} \ln(1+x^{n}) dx \leq [\frac{x^{n+1}}{n+1}]_{0}^{1}=\frac{1}{n+1}\\ I_{n} \leq \frac{1}{n+1}[/tex]
Et [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{1}{n+1}=0[/tex], et comme [tex]0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n+1}[/tex], d'après le théorème des gendarmes, [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} I_{n}=0[/tex].
