Réponse : Bonsoir,
2)a) [tex]u_{n+1}-u_{n}=5 \times \sqrt{u_{n}}-u_{n}=\sqrt{u_{n}}(5-\sqrt{u_{n}})[/tex]
Or d'après la question 1), pour tout entier naturel n, [tex]1 \leq u_{n} \leq 25[/tex], donc [tex]1 \leq \sqrt{u_{n}} \leq 5[/tex], et donc:
[tex]-1 \geq -\sqrt{u_{n}} \geq -5\\4 \geq 5-\sqrt{u_{n}} \geq 0[/tex]
On a donc pour tout entier naturel n, [tex]5-\sqrt{u_{n}} \geq 0[/tex], de plus, [tex]\sqrt{u_{n}} \geq 0[/tex], d'après la définition de la racine carrée.
On en déduit que pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}-u_{n} \geq 0[/tex], et donc que [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex].
La suite [tex](u_{n})[/tex] est donc une suite croissante.
Comme pour tout entier naturel n, [tex]1 \leq u_{n} \leq 25[/tex], on en déduit que la suite [tex](u_{n})[/tex] est majorée par 25.
De plus, on vient de voir que la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante, la suite [tex](u_{n})[/tex] est donc convergente.
3)a)
[tex]v_{n+1}=\ln(u_{n+1})-\ln(25)=\ln(5 \times \sqrt{u_{n}})-\ln(25)=\ln(5)+\ln(\sqrt{u_{n}})-\ln(25)\\=\ln(5)+\ln(u_{n}^{\frac{1}{2}})-\ln(25)=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(5)-\ln(25)=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(\frac{5}{25})\\=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(\frac{1}{5})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})+\ln(1)-\ln(5)=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln(5)\\=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln(\sqrt{25})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\ln(25^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\ln(u_{n})-\frac{1}{2}\ln(25)\\=\frac{1}{2}(\ln(u_{n})-\ln(25))=\frac{1}{2}v_{n}[/tex]
On en déduit que la suite [tex](v_{n})[/tex] est géométrique de raison [tex]q=\frac{1}{2}[/tex].
b) On a donc:
[tex]v_{n}=v_{0} \times (\frac{1}{2})^{n}\\v_{0}=\ln(u_{0})-\ln(25)=\ln(1)-\ln(25)=-\ln(25)\\v_{n}=-\ln(25) \times (\frac{1}{2})^{n}[/tex]
[tex]v_{n}=-\ln(25) \times \frac{1}{2^{n}}=-\ln(5^{2}) \times 2^{-n}=-2\ln(5) \times 2^{-n}=-\ln(5)2^{1-n}[/tex]
Déduisons en l'expression de [tex]u_{n}[/tex] en fonction de n:
[tex]v_{n}=\ln(u_{n})-\ln(25)\\v_{n}=\ln(\frac{u_{n}}{25})\\e^{v_{n}}=e^{\ln(\frac{u_{n}}{25})}\\\frac{u_{n}}{25}=e^{v_{n}}\\u_{n}=25e^{v_{n}}[/tex]
Donc pour tout entier naturel n,
[tex]u_{n}=25e^{v_{n}}=25e^{-\ln(5)2^{1-n}}[/tex]
c) On a que:
[tex]v_{n}=-\ln(5)2^{1-n}=-\ln(5)2 \times \frac{1}{2^{n}}[/tex]
Or [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} \frac{1}{2^{n}}=0[/tex], d'où [tex]\lim_{n \mapsto +\infty} v_{n}=0[/tex].
On en déduit finalement que:
[tex]\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=\lim_{n \mapsto +\infty} 25e^{v_{n}}=25e^{0}=25[/tex].
