Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
J'espère qu'il n'est pas trop tard pour te répondre !!
1)
a)
g '(x)=1/x + 4x --->OK
b)
On ne te demande pas le tableau de signes de g(x) qui est faux d'ailleurs! Tu dis donc :
Sur ]0;+inf[ , 1/x > 0 et 4x > 0 donc g '(x) > 0
Variation :
x--------->0......................................................+inf
g '(x)---->||....................+................................
g(x)------->||...................C...............................
C=flèche qui monte.
c)
lim g(x) quand x tend vers 0+ :
ln(x)= -inf
x--->0+
lim (2x²)=0
x--->0+
Par somme :
lim g(x)=-inf+0=-inf
x--->0+
lim g(x) quand x tend vers +inf :
ln(x)= +inf
x--->+inf
lim (2x²)=+inf
x--->+inf
Par somme :
lim g(x)=+inf
x--->+inf
Donc sur ]0;+inf[ , la fct g(x) est continue et strictement croissante passant de valeurs négatives quand x tend vers -inf à des valeurs positives quand x tend vers +inf. D'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que g(α)=0.
On entre la fct g(x) dans la calculatrice.
g(1)=-1 < 0 et g(2)=5.6931 > 0
g(1.1)=-0.4847 < 0 et g(1.2) = 0.06232 > 0
g(1.18) = -0.497 < 0 et g(1.19) = 0.00615 > 0
Donc :
α ≈ 1.19 à 0.01 près.
d)
x---------->-inf........................α.....................+inf
g(x)------->................-............0...........+..........
2)
a)
La dérivée de 2/x est -2/x².
lnx/x est de la forme u/v avec :
u=lnx donc u '=1/x
v=x donc v '=1
(u'v-uv')/v² =(1-lnx)/x²
Donc :
f '(x)=-2/x² - (1-lnx)/x²+2
On réduit au même déno :
f '(x)=(-2-1+lnx+2x²)/x²
f '(x)=(lnx+2x²-3)/x²
f '(x)=g(x)/x²
b)
Donc f '(x) est du signe de g(x).
Tableau de variation de f(x) :
x------------>0..............................α≈1.19.......................+inf
f '(x)------->...............-....................0.................+.............
f (x)------->..................D.................≈-1.08................C..............
D=flèche qui descend
C=flèche qui monte
