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Bonjour
Voici l'énoncé de l'exercice en pièce jointe. L'exercice porte sur les suites arythmetique
Cordialement, bon courage.

Bonjour Voici Lénoncé De Lexercice En Pièce Jointe Lexercice Porte Sur Les Suites Arythmetique Cordialement Bon Courage class=

Sagot :

Réponse : Bonjour,

1)2) [tex]a_{1}[/tex] est la longueur du demi-cercle de rayon 1 cm, donc [tex]a_{1}=\frac{2 \pi 1}{2}=\pi[/tex].

[tex]a_{2}[/tex] est la longueur du demi-cercle de rayon [tex]\frac{3}{2}[/tex]=1,5 cm, donc [tex]a_{2}=\frac{2 \pi \frac{3}{2}}{2}=\frac{3\pi}{2}[/tex];

De manière générale, le diamètre du demi-cercle de longueur [tex]a_{n}[/tex] est égale à n-1, pour tout [tex]n \geq 1[/tex], donc le rayon de [tex]a_{n}[/tex] est égal à [tex]\frac{n-1}{2}[/tex].

Exprimons [tex]a_{n}[/tex] en fonction de [tex]a_{n-1}[/tex].

On a:

[tex]a_{n}=\frac{2\pi \frac{n-1}{2}}{2}=\frac{(n-1)\pi}{2}\\a_{n-1}=\frac{2\pi\frac{n-1-1}{2}}{2}=\frac{(n-2)\pi}{2}[/tex].

On calcule la différence [tex]a_{n}-a_{n-1}[/tex] pour tout [tex]n \geq 1[/tex]:

[tex]a_{n}-a_{n-1}=\frac{(n-1)\pi}{2}-\frac{(n-2)\pi}{2}=\frac{n\pi-\pi-n\pi+2\pi}{2}=\frac{\pi}{2}[/tex].

Donc pour tout [tex]n \geq 1, a_{n}-a_{n-1}=\frac{\pi}{2}[/tex], on en déduit que la suite [tex](a_{n})[/tex] est une suite arithmétique de raison [tex]r=\frac{\pi}{2}[/tex], et de premier terme [tex]a_{1}=\pi[/tex].

3) Il faut déterminer le plus petit entier n tel que [tex]a_{n} > 25[/tex]:

[tex]a_{n} > 25\\\pi +(n-1)\frac{\pi}{2} > 25\\\pi+\frac{n\pi}{2}-\frac{\pi}{2} > 25\\ \frac{n\pi}{2} > 25-\frac{\pi}{2}\\n > \frac{25-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}=25 \times \frac{2}{\pi}-1=\frac{50}{\pi}-1=\frac{50-\pi}{\pi} \approx 14,9[/tex]

Donc à partir de n=15, on peut obtenir un demi-cercle dont la longueur est supérieure à 25 cm.

Vérification: [tex]a_{15}=\pi+(15-1)\frac{\pi}{2}=\pi+\frac{14\pi}{2}=\pi+7\pi=8\pi \approx 25,1 \; cm[/tex].

Donc pour n=15, on obtient bien un demi-cercle dont la longueur est supérieure à 25 cm.

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