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Sagot :
Bonjour ;
a.
Soient x , y et z les âges des 3 filles .
Le produit des âges est 36 ; donc pair ; donc au moins une fille
a un âge pair ; et la somme de leurs âges est 13 ; donc impair ;
donc au moins une fille a un âge impair .
On a donc au moins une fille dont l'âge est pair et une fille dont
l'âge est impair et la troisième peut avoir un âge indifférent , soit
pair soit impair .
b.
Soit x l'âge de la fille qui est un âge pair , donc il existe un nombre
entier naturel non nul X tel que : x = 2X .
Soit y l'âge de la fille qui est un âge impair , donc il existe un nombre
entier naturel Y tel que : y = 2Y + 1 .
Supposons que l'âge de la troisième fille est pair , donc il existe un
nombre entier naturel non nul Z tel que : z = 2Z ; donc on a :
xyz = (2X) * y * (2Z) = 4XZy = 36 ;
donc : XZy = 36/4 = 9 ;
donc : X et Z sont impairs ;
donc X et Z prennent 1 ou 3 comme valeurs ;
donc si X = 1 et Z = 1 alors x = 2 ; z = 2 et y = 9 (Première possibilité) ;
et si X = 1 et Z = 3 alors x = 2 ; z = 6 et y = 3 (Deuxième possibilité) ;
et si X = 3 et Z = 3 alors x = 6 ; z = 6 et y = 1 (Troisième possibilité) .
Ces trois possiblités vérifient toutes x + y + z = 13 .
Supposons que l'âge de la troisième fille est impair , donc il existe un
nombre entier naturel Z tel que : z = 2Z + 1 ; donc on a :
xyz = (2X) * (2Y + 1) * (2Z + 1) = 36 ;
donc : X * (2Y + 1) * (2Z + 1) = 18 ;
donc X est pair ;
donc il existe un nombre entier naturel non nul u tel que : X = 2u ;
2u * (2Y + 1)(2Z + 1) = 18 ;
donc : u(2Y + 1)(2Z + 1) = 9 ;
donc u peut prendre 1 ; 3 et 9 comme valeurs ;
donc si u = 1 alors on peut avoir 2Y + 1 = 1 et 2Z + 1 = 9 ;
donc : u = 1 ; y = 1 et z = 9 ;
donc : X = 2u = 2 ; y = 1 et z = 9 ;
donc : x = 4 ; y = 1 et z = 9 (Quatrième possibilité) .
Si u = 3 alors on peut avoir 2Y + 1 = 1 et 2Z + 1 = 3 ;
donc : X = 2u = 6 ; y = 1 et z = 3 ;
donc : x = 12 ; y = 1 et z = 3 : ce cas ne vérifie pas x + y + z = 13 .
Si u = 9 alors on peut avoir y = 2Y + 1 = 1 et z = 2Z + 1 = 1 ;
donc : X = 2u = 18 qui donne x = 36 ; donc ce cas ne vérifie pas
la condition x + y + z = 13 .
Conclusion :
Les âges des trois filles sont soit x = 2 ; z = 2 et y = 9 (Première possibilité) ;
soit x = 2 ; z = 6 et y = 3 (Deuxième possibilité) ; soit x = 6 ; z = 6 et y = 1 (Troisième possibilité) ; soit x = 4 ; y = 1 et z = 9 (Quatrième possibilité) .
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