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Bonjour,
Une entreprise fabrique au maximum 1000 L de sirop antitussif par jour. On note C(x) le coût journalier de fabrication de ce sirop en milliers d’euros est R(x) la recette journalière en milliers d’euros, lorsqu’on fabrique x centaines litres de sirop. On admet que C(x)=3x au carré + 15 et R(x)=18x pour x variant de 0 à 10.
1. Déterminé à l’euro près les coûts de fabrication et la recette pour la fabrication de 200 L de sirop.
2. On note B, la fonction qui pour x centaines de litres de sirop associe le bénéfice réalisé en milieu d’euros.
A) justifier que pour tout x appartenant [0; 10] B(x) = -3x au carré + 18x - 15

B) démontrer que pour tout x appartenant [0;10] B(x) = -3(x-1)(x-5)

C) en utilisant l’une des deux formes précédentes de B, déterminer le nombre de litres de sirop à produire pour obtenir un bénéfice, c’est-à-dire pour que B(x) = _> 0

D) en utilisant l’une des deux formes obtenus pour B, résoudre l’équation B(x)= -15, interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
Merci d’avance

Sagot :

isapaul

Bonsoir,

x = 100 litres de sirop         x ∈  [ 0 ; 10 ]

Coût de fabrication journalier en milliers d'euros :

C(x) = 3x² + 15

Recette journalière en milliers d'euros :

R(x) = 18x

1)

C(2) = 27      donc coûts  = 27 000 €

R(2) = 36   donc recette = 36 000 €

2a)  Bénéfice  = Recette - Coût

B(x) = R(x) - C(x)

B(x) = 18x - ( 3x² + 15)

B(x) = -3x² + 18x - 15  de la forme de ax² + bx + c

b)  en développant

-3( x - 1)( x - 5) =  -3 ( x² - 5x - x + 5) = -3x² + 18x - 15  = B(x)

c)

            (x - 1) = 0      pour x = 1

    ou   (x - 5) = 0    pour x = 5

donc 1 e 5 sont les deux racines du polynôme

Le polynôme sera du signe de "-a" entre les racines donc

B(x) ≥ 0     pour x ∈ [ 1 ; 5 ]

d)   B(x) = -15

-3x² + 18x - 15 = -15

-3x² + 18x = 0

-3x( x - 6) = 0       soit x = 0   soit x = 6

Bonne soirée

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