Réponse :
Explications étape par étape
affirmation 1) il semble que f(x) est >0 ceci est FAUX
il suffit d'un contre exemple: f(100)=4*100-100ln100=-60,...
Affirmation2 ) f(x) est strictement croissante elle également FAUSSE car on voit que sur ]0;5] f(x) est >0 et croissante mais comme f(100) est <0 par logique à un moment donné elle a dû être décroissante .
La suite de l'exercice ne validera rien mais confirmera que ces affirmations sont fausses.
1b) limites (en 0 et en +oo)
quand x tend vers 0, 4x tend vers 0 et xlnx tend vers 0 donc f(x) tend vers 0
Quand x tend vers +oo, 4x tend vers+oo et -xlnx tend vers-oo dès lors que lnx>4 c'est à dire x>e^4 f(x) deviendra <0 et tendra vers-oo
4a)dérivée f'(x)=4-(1*lnx+(1/x)*x)=3-lnx
f'(x)=0 si lnx=3 donc si x=e³
4b) tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 e³ +oo
f'(x).................+....................0....................-....................
f(x).II0+.......croi................f(e³).............décroi..............-oo
f(e³)=4*e³-e³*lne³=4e³-3e³=e³=20(environ)
Résumé: f(x) est croissante sur ]0;e³[ puis décroissante sur ]e³;+oo[
f(x) est >0 sur ]0;e^4[ et <0 sur ]e^4;+oo[
Les deux conjectures sont FAUSSES.
