arouf9100
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Bonjour j'ai besoin d'aide pour un calcul svp:

Quel est le chiffre des unités de 3²⁰¹⁹ ?
( introuvable à la calculatrice )

merci

Sagot :

Nepenthes

Réponse :

C'est un peu normal, le nombre que tu cherches à calculer est énoooooorme !

Mais on peut quand même s'en sortir avec les congruences.

Tu sais que 3^4, c'est 81 qui est congru à 1 modulo 10.

Donc 3^2019, c'est égal à 3^2016 * 3^3 = (3^4)^(504) * 27

Mais 3^4 est congru à 1 modulo 10, donc 3^2016 est congru à 1^504 modulo 10, qui est congru à 1 modulo 10.

Donc 3^2019 est congru à 27 modulo 10 : le dernier chiffre sera un 7.

Explications étape par étape

Bonjour,

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

3⁶ = 729

3⁷ = 2 187

3⁸ = 6 561

....etc....

On pourrait aller ainsi jusqu'à 3²⁰¹⁹ mais ça serait très long, fastidieux et, surtout, ça nous donnerait des nombres très très grand....

Par contre, on remarque dans les quelques calculs précédents, que le chiffre des unités forme une boucle qui revient sans cesse tous les 4 calculs : 3 - 9 - 7 - 1

2 019 = 4 × 504 + 3

Les chiffre des unités de 3²⁰¹⁹ sera donc la 3e chiffre de cette 505e série de 4 chiffres, donc : 7

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