Réponse : Bonsoir,
1) On remarque que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^{*}, u_{n}=f(n)[/tex], avec [tex]f(n)=\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}[/tex].
Étudions les variations de f.
Pour cela, on calcule la dérivée f':
[tex]f'(n)=-\frac{1}{n^{2}}-2(-\frac{1}{(n+1)^{2}})=-\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{(n+1)^{2}}=\frac{-(n+1)^{2}+2n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}=\frac{-n^{2}-2n-1+2n^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}\\f'(n)=\frac{n^{2}-2n-1}{n^{2}(n+1)^{2}}[/tex].
Le dénominateur de f' est strictement positif sur le domaine de définition de f, il faut donc étudier le signe du numérateur de f':[tex]n^{2}-2n-1[/tex].
Pour cela, il faut calculer le discriminant de ce trinôme:
[tex]\Delta=(-2)^{2}-4 \times 1 \times (-1)=4+4=8\\n_{1}=\frac{2-\sqrt{8}}{2}=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(1-\sqrt{2})}{2}=1-\sqrt{2}\\n_{2}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=\frac{2(1+\sqrt{2})}{2}=1+\sqrt{2}[/tex].
Le discriminant est positif, donc le tableau de signes du trinôme est:
n 1 1+√2 +∞
n²-2n-1 - Ф +
On en déduit donc que [tex]f'(n) < 0[/tex], pour tout [tex]n < 3[/tex], et que [tex]f'(n) > 0[/tex], pour tout [tex]n \geq 3[/tex].
On en conclut donc que f est décroissante, pour tout [tex]n < 3[/tex], et que f est croissante, pour tout [tex]n \geq 3[/tex].
Donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est décroissante pour n < 3, et pour tout [tex]n \geq 3[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
2) Pour étudier les variations de v, on calcule [tex]v_{n+1}-v_{n}[/tex]:
[tex]v_{n+1}=v_{n}+9-n^{2}\\v_{n+1}-v_{n}=9-n^{2}=(3-n)(3+n)[/tex].
Le polynôme du second degré, [tex]9-n^{2}[/tex],a donc deux racines qui sont -3 et 3.
On est donc en mesure d'établir le tableau de signes de ce polynôme du second degré, pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]:
n 0 3 +∞
9-n² + Ф -
On en déduit donc que [tex]v_{n+1}-v_{n} \geq 0[/tex], pour tout [tex]n \leq 3[/tex]. Donc que la suite v est croissante pour tout [tex]n \leq 3[/tex].
Puis que [tex]v_{n+1}-v_{n} \leq 0[/tex], pour tout [tex]n \geq 3[/tex]. Donc que la suite v est décroissante, pour tout [tex]n \geq 3[/tex].
