Réponse :
Le club de vacances peut espérer gagner 30×50=1500€ pour 30 participants.
On designe par x le nombre de participants supplémentaires au delà de 30 sans dépasser 60.
Ainsi x appartient à l'intervalle [0; 30]
La recette du club de vacances est le produit entre le nombre de participants et le prix payé par personne.
Le nombre de participants au delà de 30 est 30+x
Le prix payé est 50-x
La recette est donnée par f(x) = (30+x)(50-x) sur [0;30]
En classe de premiere :
f est un polynôme du second degré.
(30+x)(50-x)= -x²+20x+1500
α=-b/(2a) avec a = -1; b= 20 et c=1500
α = 10
a < 0 donc la fonction f admet un maximum en α=10
Le club de vacances gagnera le plus d'argent pour 10 participants supplémentaires soient 40 participants.
f(10) = 40×40 = 1600
La recette sera alors de 1600€
En classe de seconde :
On trace la représentation graphique de f après avoir donné un tableau de valeurs.
On conjecture la valeur du maximum de la courbe et de son abscisse.
On peut étudier le signe de f(x)-M où M est le maximum conjecturé. Le maximum M semble être 1600.
f(x)-M =
-x²+20+1500-1600 =
-x²+20x-100 =
-(x²-20x+100) =
-(x-10)²
Un carré etant toujours positif on en deduit que -(x-10)² ≤ 0 pour tout x de [0; 30]
f(x) - 1600 ≤ 0 pour tout x de [0;30]
f(x) ≤ 1600 pour tout x de [0;30]
Donc 1600 est le maximum de la fonction f. Il est atteint pour x=10.
Le club de vacances gagnera le plus d'argent pour 10 participants supplémentaires soient 40 participants.
La recette sera alors de 1600€.
En fonction du chapitre abordé en classe et des méthodes présentées par ton professeur, la résolution de ce problème peut se faire de différentes manières.
Explications étape par étape
