Réponse : Bonsoir,
1) Le taux de variation de f en 0 est:
[tex]\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\frac{1}{1+h^{2}}-1}{h}=\frac{\frac{1-1-h^{2}}{1+h^{2}}}{h}=\frac{-h^{2}}{1+h^{2}} \times \frac{1}{h}=-\frac{h}{1+h^{2}}[/tex].
Donc la bonne réponse est c) [tex]\tau(h)=\frac{-h}{1+h^{2}}[/tex].
2) On sait que:
[tex]f'(0)=\lim_{h \mapsto 0} \tau(h)=\lim_{h \mapsto 0} \frac{-h}{1+h^{2}}=0[/tex].
Donc on peut en déduire que b) [tex]f'(0)=0[/tex].
3) On calcule le taux de variation de g en 0:
[tex]\frac{g(0+h)-g(0)}{h}=\frac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}=\frac{\sqrt{h}}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}\\De \; plus, \; \lim_{h \mapsto 0} \frac{1}{\sqrt{h}}=+\infty[/tex].
La limite du taux de variation de g en 0 n'étant pas une limite finie, on en déduit que g n'est pas dérivable en 0. La bonne réponse est donc a).