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bonjour j ai besoins d aide merci d avance

On consid`ere la suite (un)n∈N definie par: u0= 0, et∀n∈N, u(n+1)=[tex]\sqrt{6+un}[/tex]

Montrer que∀n∈N, un∈[0,3].

Sagot :

Paindepis

Salut !

U₁ = √(6+0) = √(6) et √(6) ∈ [0; 3]

On suppose qu'il existe un rang n tel que la propriété ∀n∈N, un∈[0,3] soit vraie.

On pose la fonction f(x) = √(6+x) pour x ∈ [0; 3]

La fonction f est continue et strictement croissante sur [0; 3], donc f(0) ≤ f(x) ≤ f(3)

⇔ √(6) ≤ f(x) ≤ 3

⇒ f(x) ∈ [0; 3]

Par conséquent Uₙ₊₁ ∈ [0; 3].

L'hypothèse est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc la propriété est vraie ∀n∈N.

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