Theo31974
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Bonsoir , il me reste un exercice pour mon dm de math que je dois rendre pour demain :

Exercice :

Un placard à la forme d’un parallélépipède rectangle. Pour des raisons pratiques, si sa largeur et x, sa profondeur et 12 - x et la hauteur est égal à la profondeur. On suppose x appartient [0;12] (les dimensions sont exprimées en dm).

1. Déterminer le volume V(x) en dm^3 de ce placard

2. Calculer V’(x) pour tout x appartient [0;12].

3.Vérifie que 4 et 12 sont racine du polynôme 3x^2-48x+144. En déduire une factorisation de V’(x) puis le signe de V’(x).

4. Déterminer les variations de la fonction V

5. Quelle dimension doit-t-on choisir pour le placard à fin d’obtenir un volume maximal ?

Merci d’avance pour vos réponses

Bonsoir Il Me Reste Un Exercice Pour Mon Dm De Math Que Je Dois Rendre Pour Demain Exercice Un Placard À La Forme Dun Parallélépipède Rectangle Pour Des Raisons class=

Sagot :

jpmorin3

bjr

1)  x ⋲ [0 ; 12]

les trois dimensions du placard sont : x ; 12 -x ; 12-x (en dm)

son volume est :

V(x) = x(12 - x)(12 - x) = x(12 - x)²   (en dm³)

V(x) = x ( 144 - 24x + x²)

V(x) = x³ - 24x² + 144x

2)

V'(x) = 3x² - 2*24x + 144

       = 3x² - 48x + 144

3)

on calcule V'(4) et V'(12)

V'(4) = 3*16 -48*4 + 144 = 0

V'(12) = 3*144 - 48*12 + 144 = 0

4 et 12 sont racines du trinôme 3x² - 48x + 144

propriété :

si un trinôme ax² + bx + c a deux racines x1 et x2  

il admet comme factorisation     a(x - x1)(x - x2)

d'où

3x² - 48x + 144 = 3(x - 4)(x - 12)

x            0                 4                     12

x - 4              -           0          +

x - 12            -                         -          0

V'(x)              +           0           -          0

V(x)        0      /        256        ∖          0

le volume est maximum quand x vaut 4

les dimensions du placard sont alors 4 ; 8 ; 8  (dm)

et l'aire 256 dm³

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