Réponse :
Exercice intéressant
Explications étape par étape
Partie A
f(x)=(ax+b)e^-x sur [1;8]
dérivée f'(x)=a*e^(-x)-[e^(-x)](ax+b)= (a-ax+b)e^(-x)
1)On veut que la tangente au point d'abscisse x=1 soit horizontale donc que f'(1)=0 pour cela il faut que a-a(1)+b=0 donc b=0
Notre fonction f(x) =ax*e^(-x)
2)On nous dit que f(1) est compris entre 3,5 m et 4 m et que "a" appartient à N
on a donc 3,5<f(1)<4 soit 3,5<a/e< 4
ce qui donne a>3,5 e ou a>9,5 et a<4e soit a<10,9
Conclusion a=10
on a donc f(x)=10x*e^(-x)
Partie B
Pour calculer l'aire à peindre il aurait fallu déterminer une primitive de f(x) mais on t'a facilité le travail en te demandant de vérifier que g(x) est une primitive de f(x) pour cela il suffit de dériver g(x) pour voir si on retrouve f(x)
g(x)=10(-x-1)e^(-x) g'(x)=-10*e^(-x)- 10(-x-1)e^(-x) =10x*e^(-x)
L'aire à peindre est donc égale à g(8)-g(1)=-90/e^8 -(-20)/e
aire à peindre = -0,03+7,35 =7,33 m²
montant du devis: je te laisse faire le calcul.
PartieC: la pente de la tangente est donnée par la valeur du nombre dérivé quand f'(x) varie entre [1 et 8] et il faut que cette valeur (absolue) reste inférieure à tan55° (soit 1,43)
pour cela on étudie la fonction f'(x) sur [1; 8] f'(x)=10(1-x)e^-x
Dérivée f"(x)=-10*e^(-x)-e^(-x)* (10-10x)=(10x-20)e^-x
cette dérivée f"(x) s'annule pour x=2
tableau de signes de f"(x) , de variations de f'(x) et de If'(x)I (valeur absolue)
x 1 2 8
f"(x) .........-..................0...............+................f'(8)
f'(x) 0......décroi........ f'(2).........croi..............f'(8)
If'(x)I 0.......croi............1,35 .......décroi............0,3
f'(1)=0 f'(8)=-70/2^8=-0,3. f'(2)=-1,35
On note que la tangente de l'angle alpha est toujours <1,45 donc alpha <55°
vérifie quand même mes calculs .