Réponse :
Bonjour, Il faut étudier ton cours sur les fonctions expo et ln. C'est une application du cours et des rappels de 4ème sur les puissances.
Explications étape par étape
ex4) f(x)=4/(1+e^x) -2
1-a) f(-ln7)=4/(1+1/e^ln7)-2 or e^ln7=7
f(-ln7)=4/(1+1/7)-2=4*(7/8)-2=7/2-2=3/2
f(ln3)=4/(1+e^ln3)-2 or e^ln3=3
f(ln3)=4/4-2=-1
1-b) f(x)=0 soit 4/(1+e^x)-2=0 ou 4/(1+e^x)=2 comme 1+e^x est tjrs >0 on fait un produit en croix
4=2(1+e^x)
1+e^x=2
e^x=1 donc x=0 f(x)=0 solution x=0 (voir courbe pour vérification)
2)Asymptotes f(x) étant définie et continue sur R si elle admet des asymptotes c'est en -oo et (ou)+oo
limites :
si x tend vers -oo, e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers 4/1 -2=+2
si x tend vers+oo, e^x tend vers +oo f(x) tend vers 4/+oo-2=-2
les droites d'équation y=2 et y=-2 sont des asymptotes horizontales.
3-a) Dérivée f'(x)=-4e^x/(1+e^x)² rappel la dérivée de e^x est e^x et celle de u/v est (u'v-v'u)/v²
e^x étant >0 cette dérivée f'(x) est toujours >0 donc la fonction f(x) est décroissante.
tableau
x -oo 0 +oo
f'(x)...............................-..........................
f(x) +2.........décroi...0.........décroi.....-2
4)Equation de la tangente au point d'abscisse x=ln3
formule y=f'(ln3)(x-ln3)+f(ln3)
calcule f'(ln3) puis remplace développe et réduis.
ex5) f(x)=e^x+1/e^x
On peut remarquer que cette fonction est définie sur R et qu'elle est toujours >0
1) On détermine son comportement aux bornes du Df . C'est à dire les limites en - et+oo
si tend vers -oo, e^x tend vers 0+ donc
f(x) tend vers (0+) + 1/(0+)=0+(+oo)=+oo
si x tend vers+oo f(x) tend vers +oo+1/(+oo)=+oo+0=+oo
2)Dérivée f'(x)=e^x-(e^x)/(e^x)²=e^x-1/e^x=[(e^x)-1]/e^x
Cette dérivée est du signe de e^x -1
f'(x)=0 pour e^x =1 soit x=0
calculons f(0)=e^0+1/e^0=1+1=2
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x -oo 0 +oo
f'(x) ...................-...................0...................+....................
f(x) +oo.........décroi...........+2...............croi...............+oo
3) e^x+1/e^x =e^x+e^(-x) (rappel de 4ème sur les puissances)
Avec le tableau de variations ci dessus on note que e^x+e^(-x) est toujours > ou = 2
