Réponse :
3) montrer que pour tout entier naturel n ≥ 1 , Un+1/Un = (n+1)/2n
Un+1/Un = (n+1)/2ⁿ⁺¹/n/2ⁿ = (n+1)*2ⁿ/2ⁿ⁺¹ * n = (n + 1) x 2ⁿ/(2ⁿ x 2 x n)
= (n+1)/2n
4) en déduire que pour tout entier naturel n ≥ 1 Un+1/Un ≤ 1
on a; n ≥ 1 ⇔ n + 1 ≥ 2 ⇔ (n + 1)/2n ≥ 2/2n ⇔ (n + 1)/2 n ≥ 1/n
or n ≥ 1 ⇒ 1/n ≤ 1 donc 1/n ≤ (n+1)/2 n ≤ 1
Donc Un+1/Un ≤ 1
Donc vérifiant que Un+1/Un ≤ 1
pour n = 1 ⇒ Un+1/Un = 2/2 = 1
n = 2 ⇒ Un+1/Un = 3/4
n = 3 ⇒ Un+1/Un = 2/3
Donc on a bien Un+1/Un ≤ 1
5) que peut-on dire des variations de la suite (Un)
puisque la suite (Un) a des termes positifs donc on compare Un+1/Un par rapport à 1
et comme Un+1/Un ≤ 1 donc la suite (Un) est décroissante sur N
6) en utilisant la calculatrice déterminer le rang n à partir duquel Un < 0.1
Un = n/2ⁿ < 0.1
n = 1 ⇒ U1 = 1/2 = 0.5
n = 2 ⇒ U2 = 2/4 = 0.5
n = 3 ⇒ U3 = 3/2³ = 0.375
n = 4 ⇒ U4 = 4/2⁴ = 0.25
n = 5 ⇒ U5 = 5/2⁵ = 0.15625
n = 6 ⇒ U6 = 6/2⁶ = 0.09375
U6 = 0.09375 < 0.1 le rang n = 6
Explications étape par étape