Explications étape par étape:
1) Il suffit de prendre un polynôme dont le discriminant est négatif, comme par exemple P(x) = x^2 + 2x + 4.
b) En effet, prenons un polynôme de degré 3 comme P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d. En - infini, la limite vaut - infini. En + infini, la limite vaut + infini. Les polynômes étant des fonctions continues sur R, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une racine réelle, telle que P(x) = 0.
c) Comme vu précédemment, il suffit de prendre un degré impair, ainsi lors du calcul des limites, en - infini on aura - infini, et en + infini on aura + infini. Ensuite on réutilise le théorème des valeurs intermédiaires.
2) Posons g(x) = f(x) - x, qui est définie sur [0;1] à valeurs dans [-1;1]. f est continue, x aussi, donc par operations de fonctions continues sur l'intervalle, g est continue.
On peut supposer f monotone, ainsi, g est aussi monotone sur [0;1]. En effet, 0 € g([0;1]) = [-1;1], ainsi par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x) = 0 admet au moins une solution sur [0;1].
Mais, g(x) = 0, ça équivaut à f(x) - x = 0 donc f(x) = x.
3) On peut seulement affirmer qu'elle est bornée, puisqu'elle prend un nombre fini de valeurs.
