Réponse :
Partie A
on considère l'équation : 51 x - 26 y = 1 où x et y sont des entiers relatifs
1) Justifier, que cette équation admet au moins un couple solution
décomposons 51 et 26 en produit de facteurs premiers
51 = 3 x 17
26 = 2 x 13
on constate que les deux nombres 51 et 26 n'ont pas de facteurs communs, donc ils sont premiers entre eux c'est à dire que leur pgcd(51 ; 26) = 1
D'après le théorème de Bezout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que 51 u + 26 v = 1 avec x = u et y = - v qui sont deux entiers relatifs tel que 51 x - 26 y = 1
Donc 51 u + 26 v = 1 admet au moins une solution car 1 est un multiple de
1 = pgcd(51 ; 26)
2) a) donner un couple solution de cette équation
51 x - 26 y = 1 ⇔ 51 x (- 1) - 26 x (- 2) = 1 ⇔ - 51 + 52 = 1 donc le couple
(- 1 ; - 2) vérifie l'équation, ce couple solution est (x₀ ; y₀)
b) déterminer l'ensemble des couples solution de cette équation
soit (x ; y) un couple solution qui sont des entiers relatifs
donc on écrit : 51 x - 26 y = 1 ⇔ 51 x - 26 y = 51 x₀ - 26 y₀⇔ 51 x - 5 x0 = 26 y - 26 y0 ⇔ 51(x - x0) = 26(y - y0)
puisque 51 et 26 sont premiers entre eux, donc 26 divise x - x0
donc d'après le théorème de Gauss; il existe un entier relatif k tel que
x - x0 = 26 k soit x = x0 + 26 k
il existe aussi un entier relatif k' tel que y - y0 = 51 k' soit y = y0 + 51 k'
on remplace x0 et y0 trouvés à la question 2.a1
on obtient x = - 1 + 26 k et y = - 2 + 51 k'
donc on remplace x et y dans l'équation de départ
51 x - 26 y = 1 ⇔ 51(x0 + 26 k) - 26(y0 + 51 k') ⇔ 51 x 26(k - k') = 0
⇔ k = k'
les couples solutions sont (- 1+26 k ; - 2 + 51 k) avec k ∈Z
Explications étape par étape