malousam1
Answered

Laurentvidal.fr est là pour vous fournir des réponses précises à toutes vos questions avec l'aide de notre communauté experte. Découvrez la facilité de trouver des réponses fiables à vos questions grâce à une vaste communauté d'experts. Connectez-vous avec une communauté d'experts prêts à vous aider à trouver des solutions à vos questions de manière rapide et précise.

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour mon devoir maison de mathématiques dont voici l'énoncé :

Une usine automobile construit des pièces pour des moteurs grâce à une machine qui ne peut réaliser plus de 1000 pièces par mois. Le coût de fabrication par mois, en centaines d'euros, de x centaines de moteurs est déterminée grâce à la fonction f définie sur [0;10] par f(x) = x+3-e^-x+0,5

1) Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur [0;10].
2) Le prix d'une pièce fabriquée par cette machine s'élève à 2€.
a) Exprimer en fonction de x, la recette perçue pour la vente de x centaines de pièces.
b) Montrer que le bénéfice obtenu, en centaines d'euros, par la vente de x centaines de pièces est donnée par : B(x)=x-3+e^-x+0.5.
3) Pour tout x dans [0;10], calculer B'(x).
4) Résoudre dans l'intervalle [0;10], l'inéquation 1-e^-x+0.5≥0
5) En déduire le signe de B'(x) sur l'intervalle [0;10] et dresser le tableau de variations de la fonction B sur cet intervalle.
6) a) Montrer que l'équation B(x)=0 admet une unique solution β sur l'intervalle [1;10].
b) Donner un encadrement de β à 10^-2 près par la méthode de votre choix.
c) Déterminer pour quelles quantités de pièces produites et vendues par mois cette usine dégage un bénéfice.

Merci d'avance !

Sagot :

Réponse :

Elles sont souvent dans les questions. Il faut connaître  la dérivée de e^u(x) qui est u'(x)*e^u(x).

Explications étape par étape

1)f(x)=x+3-e^(-x+0,5)  et avec des (  )

Pour démontrer que f(x) est strictement croissante il suffit de démontrer que sa dérivée est strictement >0

f'(x)=1+e^(-x+0,5)  la fonction e^(u(x)) étant toujours>0 f'(x) est >0 donc f(x) est strictement croissante.

2) la recette R(x) =2x   (en centaines d'€)

le bénéfice B(x)=R(x)-f(x)  (recette -coût de fabrication

B(x)=2x-[x+3-e^(-x+0,5)] =x-3+e^(-x+0,5)

3) dérivée de B(x)

B'(x)=1-e^(-x+0,5)

B'(x)=0 pour  e^(-x+0,5)=1 soit -x+0,5=0 car e^0=1

solution x=0,5

Tableau de signe de B'(x) et de variations de B(x) sur [0; 10]

x    0                           0,5                                10

B'(x)........-.......................0............+.........................

B(x)B(0)....décroi..........B(0,5)........croi..............b(10)

B(0)=-3+e^0,5=-3+rac e =......valeur<0  (calculette)

B(0,5)=0,5-3+e^0=-1,5

B(10)=10-3+e^(-10+0,5)=+.......valeur >0 (caculette)

6-a) Sur [0; 0,5] B(x) est  continue, monotone et toujours <0

 sur [0,5; 10]  B(x) est  une fonction monotone et continue qui passe d'une valeur <0 à une valeur >0 d'après le TVI il existe une et une seule  valeur "beta" telle B(béta)=0

b) détermine cette valeur "béta" par encadrement

B(2)=2-3+e^-1,5=-1+e^-1,5=......valeur<0

B(3)=3-3+e^-2,5=e^-2,5 (valeur>0)

donc 2<beta<3 reserre l'encadrement à 10^-2  avec ta calculatrice.

c) l'entreprise réalise des bénéfices si elle fabrique et vend un un nombre de pièces compris entre ]béta*10²; 1000]

Merci d'utiliser notre service. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour toutes vos questions. Revenez pour plus d'informations. Merci de votre visite. Notre objectif est de fournir les réponses les plus précises pour tous vos besoins en information. À bientôt. Merci de faire confiance à Laurentvidal.fr. Revenez pour obtenir plus d'informations et de réponses.