Réponse :
l' usine commence à dégager un Bénéf pour 3 centaines de pièces,
et elle dégagera un Bénéf maxi pour 10 centaines de pièces
( = 1000 pièces ) .
Ce Bénéf maxi sera de 7 centaines d' €uros ( = 700 €uros )
Explications étape par étape :
■ 1000 pièces/mois = 10 centaines de pièces .
■ Coût = f(x) = x + 3 - exp(0,5 - x) sur [0 ; 10]
■ 1°) dérivée f ' (x) = 1 + exp(0,5 - x) toujours positive
donc f est toujours croissante !
■ 2a) Recette pour 1 centaine de pièces = 2 €
donc R(x) = 2x
■ 2b) Bénéf = Recette - Coût ♥
B(x) = 2x - x - 3 + exp(0,5 - x)
B(x) = x - 3 + exp(0,5 - x)
■ 3°) B ' (x) = 1 - exp(0,5 - x)
■ 4°) cette dérivée est positive pour :
exp(0,5 - x) < 1
0,5 - x < 0
0,5 < x
■ 5°) tableau :
x --> 0 0,5 1 2,91o2 3 10
B ' (x) -> - 0 +
�� varia -> décroiss | croissante
B(x) --> -1,35 -1,5 -1,4 0 0,1 7
■ 6a) comme B est croissante pour x > 0,5
B(2,8) = -0,1
B(3) = 0,1
on peut affirmer que la valeur cherchée de b est telle que :
2,8 < b < 3
■ 6b) par tâtonnement ( dichotomie ) :
2,91 < b < 2,92
■ 6c) conclusion :
l' usine commence à dégager un Bénéf pour 3 centaines de pièces,
et elle dégagera un Bénéf maxi pour 10 centaines de pièces
( = 1000 pièces ) .
Ce Bénéf maxi sera de 7 centaines d' €uros ( = 700 €uros )
