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Bonjour, j'ai un exercice de math que je n'arrive pas a résoudre, je suis en seconde SI et c'est un chapitre qui compte beaucoup dans le programme, Merci d'avance pour l'aide apporté.


Soit la fonction f définie sur l'intervalle ]-4 ; +∞[ par f(x) = [tex]\frac{x^{2}+8x+7 }{(x+4)^{2} }[/tex] et C sa courbe représentative dans un repère orthonormée (O, I , J) d’unité graphique 1 cm.


1) a) Déterminer la limite de la fonction f en -4

b) En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C dont on précisera une équation

c) Déterminer la limite de f en + ∞

d) En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe C dont on précisera une équation


2) a) Vérifier que la dérivée f' de la fonction f est définie par f'(x)= [tex]\frac{18}{(x+4)^{3} }[/tex]

Etudier son signe et dresser le tableau de variation de la fonction f


3. Calculer les coordonnées des points d'intersection de la courbe C avec les axes du repères.


4) a) Sans déterminer l'équation, tracer dans le repère la tangente à C au point d'abscisse -1


b) Tracer les asymptotes déterminées à la question 1), Puis la courbe C


5) a) Montrer que, pour tout x de ]-4 ; +∞[ on a: f(x)=[tex]\frac{9}{(x+4)^{2}}[/tex]

b) En déduire la primitive F de f sur ]-4 ; +∞[ dont la courbe représentative passe par le point de coordonnées (-1 ; 0)


Je vous remercie par avance pour l'aide que vous m'apporterez dans cet exercice

Sagot :

Réponse :

f(x)=(x²+8x+7)/(x+4)²=(x²+8x+7)/(x²+8x+16) je la mets sous cette forme pour la limite en +oo et la dérivée.

Explications étape par étape

1a) si x tend vers -4 , x²+8x+7 tend vers -9 et (x-4)² tend vers 0+ donc f(x) tend vers-9/0+=-oo

b) la droite d'équation x=-4 est une asymptote verticale

c ) si x tend vers +oo f(x) tend vers x²/x²  soit +1

d) la droite d'équation y=1 est une asymptote horizontale.

2a) Dérivée

f'(x)=[(2x+8)(x²+8x+16)-(2x+8)(x²+8x+7)]/(x+4)^4

f'(x)=(2x+8)(16-7)/(x+4)^4=2(x+4)*9/(x+4)^4=18/(x+4)³

comme x appartient à]-4;+oo[ f'(x) est toujours >0 donc f(x) est croissante.

Tableau de signe de f'(x) et de variation de f(x)

x   -4                                                +oo

f'(x)II......................+...............................

f(x)II-oo..........croissante....................+1

3) intersection avec l'axe des ordonnées  c'est f(0)=7/16   coordonnées du point (0; 7/16)

Intersection avec l'axe des abscisses c'est la solution de f(x)=0  sur ]-4;+oo[

x²+8x+7=0   delta=36

x1=(-8-6)/2=-7 n'est dans l'intervalle

x2=(-8+6)/2=-1  soit le point  (-1;0)

4) Equation de la tangente (T) y=f(-1)(x+1)+f(-1)    y=2x+2

si on veut tracer cette tangente sans son équation ; on sait que f'(-1)=18/9=2 il suffit de tracer la droite passant par le point (-1;0) avec une pente (coefficient directeur)  =2.

5) x²+8x+7=(x+4)²-9    donc f(x)=[(x+4)²-9]/(x+4)²=1-9/(x+4)²

F(x)=x+9/(x+4)+cste

on veut que F(-1)=0 ce qui donne -1+9/(-1+4)+cste=0 soit cste=-2

F(x)=x+9/(x+4) -2

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