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Bonjour / Bonsoir , je n arrive pas du tout cet exercice de 4 eme
ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm. Le cercle (C) de diamètre [AB] et de centre O, recoupe [BC] en I.
1) Démontrer que I est le milieu de [BC].
2) K est le symétrique de O par rapport à B. Démontrer que la droite (IK) est tangente au cercle (C).
3) Démontrer que les droites (IK) et (AC) sont perpendiculaires.
4) Déterminer la nature du triangle AIK.

je vous remercie d avance !

Sagot :

Réponse :

Rappel: ABC est un triangle équilatéral donc AB=BC=AC et les 3 angles sont égaux à 60°

Explications étape par étape

1)OI=OB rayon du cercle ; le triangle OBI est isocèle en O et posséde un angle de 60° en B . Ce triangle estdonc équilatéral et BI=BO=AB/2=BC/2.

I est donc le milieu de [BC]

2)BK=BO par construction  etb BO=BI  don BK=KI le triangle BKI est isocèle en B , comme KBI=180-60=120°

on peut en déduire que BIK=BKI=(180-120)/2=30°

L'angle OIK=OIB+BIK=60+30=90°

conclusion: la droite (IK) est perpendiculaire au rayon de contact en I elle est donc tangenta au cercle (C).

3)Les droites (OI) et (AC) sont coupées par la sécante (AB) les angles correspondants CAB et  IOB sont égaux (60°) donc (AC)//(OI)

(AC)//(OI)  et (IK) est une sécante (IK) étant perpendiculaire à (OI)  , cette sécante est aussi perpendiculaire à (AC), car les angles correspondants sont égaux.

4)De la question 2, on sait que BKI est isocèle en B et que BKI=BIK=30°.

le triangle OAI est isocèle en O car OA=OI (rayon du cercle) et l'angle AOI=180-60=120°

L'angle OAI=(180-120)/2=30°

le triangle AIK a deux angles égaux IAK=IKA=30°

Conclusion: Le triangle AIK est isocèle en I  

Réponse :

Explications étape par étape

1) I est le milieu de [BC] car il passe par le point O qui est le milieu du [AB] ( le diamètres )

2) la droite (IK) est tangente au cercle (c) car il passe par le point du repère  

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