Bonjour !
Si tu fais un exercice de ce type, alors tu dois sûrement connaître l'identité remarquable : (a + b)² = a² + 2ab + b²
Donc, on ne va pas s' embêter, on va juste remplacer a et b par √(5+√(21)) et √(5-√(21)).
Cela nous fait donc :
( √(5+√(21)) )² + 2 * √(5+√(21)) * √(5-√(21)) + ( √(5-√(21)) )²
Ce qui est drôle dans cet exercice, (enfin, ''drôle'' ...), c'est que quand on fait le carré de la racine carrée d'un nombre, (comme (√(3))² par exemple ), et bien ça donne ce nombre !(donc dans l'exemple (√(3))² = 3 ), vu que carré et racine carrée s'annulent !
Donc :
( √(5+√(21)) )² + 2 * √(5+√(21)) * √(5-√(21)) + ( √(5-√(21)) )² = 5+√(21) + 2ab + 5-√(21).
J'ai mis 2ab pour faire plus court, mais c'est 2 * √(5+√(21)) * √(5-√(21)) à la place en fait.
Intéressons - nous d'ailleurs à ce ''2ab'':
Propriété : √(a) * √(b) = √(a * b)
Donc, dans notre cas :
√(5+√(21)) * √(5-√(21)) = √((5+√(21) * (5-√(21))
(Oui pour l'instant on va oublier le 2 *)
Et on tombe sur une autre identité remarquable :
x² - y² = (x+y)(x-y) (et donc inversement (x+y)(x-y) = x² - y² )
On a notre x, c'est 5, on a notre y, c'est √(21), et on a tous les signes aux bons endroits !
Donc :
√((5+√(21) * (5-√(21)) = √( 5² - √(21)²) = √(25-21) = √(4) = 2
Yes ! Enfin un nombre entier dans toutes ces racines carrées !!
Ah, mais n'oublions pas que nous avons encore un 2 (vu que c'est 2ab ), Donc :
2 * √(5+√(21)) * √(5-√(21)) = 2 * 2 = 4
Donc voici notre expression :
5 + √(21) + 4 + 5 - √(21)
Bon, on voit très bien que + √(21) et - √(21) s'annulent, il reste donc:
5 + 4 + 5 = 14
14, c'est un résultat court, joli mais surtout ENTIER !!!
Voilà. Généralement, dans ce type de problèmes, il faut essayer d'éliminer le maximum de nombres, en particulier les racines carrées. Pour cela il faut essayer de décomposer, simplifier, unir ou faire disparaître les nombres qui nous gênent.
Comme tu vois, ici, j'ai fait tout pour me débarrasser des racines carrées.
J'espère t'avoir aidé pour ce problème.