1) [tex]E_0 : (0-1)x^2+2\times0x+1+2=0[/tex] d'où [tex]-x^2+2=0[/tex] soit [tex]x=\sqrt{2}[/tex] ou [tex]x=\sqrt{2}[/tex]
[tex]E_1 : (1-1)x^2+2\times1x+0+2=0[/tex] d'où [tex]2x+2=0[/tex] soit [tex]x=-1[/tex]
2) Si [tex]x=0[/tex] alors [tex]E_m : (m-1)\times0^2+2\times m\times0+m+2=0[/tex] d'où [tex]E_m :m+2=0[/tex] soit [tex]m=-2[/tex]
[tex]E_{-2} : (-2-1)x^2+2\times-2x-2+2=0[/tex] d'où [tex]-3x^2-4x=0[/tex] d'où [tex]x(-3x-4)=0[/tex] soit [tex]x=0[/tex] ou [tex]x=\frac{-4}{3}[/tex]
Remarque : [tex]E_m[/tex] est une équation du seconde degré de la forme [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] où [tex]a=m-1[/tex],[tex]b=2m[/tex] et [tex]c=m+2[/tex]
Le discriminant est Δ[tex]=b^2-4ac=(2m)^2-4(m-1)(m+2)=4m^2+(-4m+4)(m+2)\\=4m^2-4m^2-8m+4m+8=-4m+8[/tex]
3) [tex]E_m[/tex] admet une seule solution ssi Δ=0, c'est à dire pour [tex]-4m+8=0[/tex] soit [tex]m=2[/tex]
4) [tex]E_m[/tex] admet exactement deux solutions ssi Δ>0, c'est à dire pour [tex]-4m+8>0[/tex] soit [tex]m<2[/tex] donc S=]-∞;2[
5) [tex]E_m[/tex] n'admet aucune solution ssi Δ<0, c'est à dire pour [tex]-4m+8<0[/tex] soit [tex]m>2[/tex] donc S=]2;+∞[
