Explications étape par étape:
2- Ici, je pense que tu as su y parvenir, posons a=b=1 alors ab = 1 et f(ab) = f(1) = f(a) + f(b) = 2*f(1) donc nécessairement f(1) = 0.
Bien sûr, tu pourrais te dire : "Mais si je prends a = 2 et b = 1/2, ça fait ab = 1 et f(ab) = f(1) = f(2) + f(1/2)". Malheureusement ça n'apporte aucune info supplémentaire. Cette égalité est vraie, puisque on travaille sur un ensemble de réels, mais elle est obsolète. Si f(1) était différent de 0, alors on aurait un problème pour l'égalité a=b=1.
B) Ici, g est définie comme étant une fonction composée telle que g(x) = f(ax). En effet, on remarque astucieusement que f(ax) - f(x) = f(a) qui est constante. Ceci équivaut à g(x) - f(x) = f(a). g est donc dérivable sur l'intervalle de dérivabilité de f (on ne le connaît pas, mais on suppose f dérivable, sur ]0;+inf[. On devine que derrière la fonction f se cache le logarithme néperien, qui est dérivable sur ]0;+inf[) telle que g'(x) - f'(x) = f'(a) = 0 donc g'(x) = f'(x).
D'autre part, par les formules usuelles de composition de dérivée, on sait que : g'(x) = (f(ax)) ' = (ax)' *f'(ax) = a*f'(ax).
C) Posons x = 1, l'équation précédente devient : a*f'(a) = f'(1) donc f'(a) = f'(1) /a = k/a en posant k = f'(1).
