1)f(x)= 4x²+x+1/(x-1)(x+2) est de la forme u/v
donc (u/v)'=(u'v-uv')/v² avec le dénominateur de la forme uv d'où (uv)'=u'v+uv'
f'(x)=[(8x+1)(x-1)(x+2)-(4x²+x+1)(x+2+x-1)]/[(x-1)(x+2)]²
=[(8x+1)(x-1)(x+2)-(4x²+x+1)(2x+1)]/[(x-1)(x+2)]²
=[(8x+1)(x²+2x-x-2)-(8x³+4x²+2x²+x+2x+1)]/(x-1)²(x+2)²
=[(8x+1)(x²+x-2)-(8x³+6x²+3x+1)]/(x-1)²(x+2)²
=[(8x³+8x²-16x+x²+x-2)-(8x³+6x²+3x+1)]/(x-1)²(x+2)²
=[(8x³+9x²-15x-2)-(8x³+6x²+3x+1)]/(x-1)²(x+2)²
=[8x³+9x²-15x-2-8x³-6x²-3x-1)]/(x-1)²(x+2)²
=(3x²-18x-3)/(x-1)²(x+2)²
=3(x²-6x-1)/(x-1)²(x+2)²
2)f(x)=x²/(3x-1)² est de la forme u/v
donc (u/v)'=(u'v-uv')/v² avec le dénominateur de la forme u² d'où (u²)'=2u'u
f'(x)=[(2x)(3x-1)²-x²(2)(3)(3x-1)]/(3x-1)⁴
=(3x-1)[2x(3x-1)-6x²]/(3x-1)⁴
=(6x²-2x-6x²)/(3x-1)³
=-2x/(3x-1)³
3)f(x)=cos(3x+π/4)√(x²+1) est de la forme uv
donc (uv)'=u'v+uv' avec (cosu)'=-u'sinu et (√u)'=u'/2√u
f'(x)=-3sin(3x+π/4)√(x²+1)+cos(3x+π/4)(2x/2√(x²+1))
f'(x)=-3sin(3x+π/4)√(x²+1)+cos(3x+π/4)(x/√(x²+1))
4)f(x)=(2x+1/3-1/x)³ est de la forme u³
donc (u³)'=3u'u² avec un des terme de la forme 1/u d'où (1/u)'=-u'/u²
f'(x)=3(2+0-(-1/x²))(2x+1/3-1/x)²
f'(x)=3(2+1/x²)(2x+1/3-1/x)²
f'(x)=3[(2x²+1)/x²][(6x²-x-3)/3x]²
f'(x)=(2x²+1)(6x²-x-3)²/3x³
