queenomega
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Bonjour,

 

j'ai un problème avec le devoir suivant:

 

Dériver les fonctions suivantes:

 

1)f(x)= 4x²+x+1/(x-1)(x+2)

2)f(x)=x²/(3x-1)²

3)f(x)=cos(3x+pi/4)*racine carré x²+1

4)f(x)=(2x+1/3-1/x)au cube

 

Merci beaucoup pour vos réponses 

Sagot :

danielwenin

1) appliquer la formule de la dérivée d'un quotient

[tex]f'=\frac{(8x+1)(x^{2}+x-2)-(2x+1)(4x^{2}-x+1)}{(x^{2}+x-2)^{2}}[/tex]

= [tex]\frac{7x^{2}-18x-3}{(x^{2}+x-2)^{2}} [/tex]

2)

1)f(x)= 4x²+x+1/(x-1)(x+2) est de la forme u/v

donc (u/v)'=(u'v-uv')/v² avec le dénominateur de la forme uv d'où (uv)'=u'v+uv'

f'(x)=[(8x+1)(x-1)(x+2)-(4x²+x+1)(x+2+x-1)]/[(x-1)(x+2)]²

=[(8x+1)(x-1)(x+2)-(4x²+x+1)(2x+1)]/[(x-1)(x+2)]²

=[(8x+1)(x²+2x-x-2)-(8x³+4x²+2x²+x+2x+1)]/(x-1)²(x+2)²

=[(8x+1)(x²+x-2)-(8x³+6x²+3x+1)]/(x-1)²(x+2)²

=[(8x³+8x²-16x+x²+x-2)-(8x³+6x²+3x+1)]/(x-1)²(x+2)²

=[(8x³+9x²-15x-2)-(8x³+6x²+3x+1)]/(x-1)²(x+2)²

=[8x³+9x²-15x-2-8x³-6x²-3x-1)]/(x-1)²(x+2)²

=(3x²-18x-3)/(x-1)²(x+2)²

=3(x²-6x-1)/(x-1)²(x+2)²

 

2)f(x)=x²/(3x-1)² est de la forme u/v

donc (u/v)'=(u'v-uv')/v² avec le dénominateur de la forme u² d'où (u²)'=2u'u

f'(x)=[(2x)(3x-1)²-x²(2)(3)(3x-1)]/(3x-1)⁴

=(3x-1)[2x(3x-1)-6x²]/(3x-1)⁴

=(6x²-2x-6x²)/(3x-1)³

=-2x/(3x-1)³

 

3)f(x)=cos(3x+π/4)√(x²+1) est de la forme uv

donc (uv)'=u'v+uv' avec (cosu)'=-u'sinu et (√u)'=u'/2√u

f'(x)=-3sin(3x+π/4)√(x²+1)+cos(3x+π/4)(2x/2√(x²+1))

f'(x)=-3sin(3x+π/4)√(x²+1)+cos(3x+π/4)(x/√(x²+1))

 

4)f(x)=(2x+1/3-1/x)³ est de la forme u³

donc (u³)'=3u'u² avec un des terme de la forme 1/u d'où (1/u)'=-u'/u²

f'(x)=3(2+0-(-1/x²))(2x+1/3-1/x)²

f'(x)=3(2+1/x²)(2x+1/3-1/x)²

f'(x)=3[(2x²+1)/x²][(6x²-x-3)/3x]²

f'(x)=(2x²+1)(6x²-x-3)²/3x³

 

 

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