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Soit ABCD un rectangle tel que : AB = 6 cm et AD = 10 cm On désigne par M un point quelconque du segment [AB]. On note alors N, P et Q les points situés repectivement sur [BC], [CD], [DA] tels que AM = BN = CP = DG.


1. Démontrer que le quadrilatère MNPQ est un parallèlogramme.
2. On appelle x la longueur des segments [AM], [BN], [CP] et [DQ].

a. Expliquer pour 0 ≤ x ≤ 6

b. Exprimer les distances MB et NC en fonction de x
3. a. Exprimer la distance MN en fonction de x On appelle f la fonction telle que MN = f(x) b. Déterminer le sens de variation de la fonction f sur [0;6] c. Construire sur la calculatrice la représentation graphique de cette fonction f
4. a. Exprimer la distance NP en fonction de x b. Déterminer le sens de variation de cette fonction g c. Construire sur la calculatrice la repésentation graphique de cette fonction g sur le même écran que la fonction f
5. On s'intéresse au périmètre L du parallèlogramme MNPQ. Ce périmètre varie en fonction de x et on appelle h la fonction telle que L = h(x) On veut déterminer s'il existe une position du point M qui permet que ce périmètre soit minimal. a. Exprimer h à l'aide de f et g b. Expliquer pourquoi la fonction h est décroissante sur ]0;3] ; de même déterminer son sens de variation sur [5;6] c. Expliquer pourquoi les propriétés du cours ne permettent pas de déterminer le sens de variation de la fonction h sur [3;5] d. En utilisant les fonctions f et g, construire sur la calculatrice la représentation graphique de la fonction h La fonction h semble-t-elle changer de sens de variation sur l'intervalle [3;5] ?

Sagot :

kaser30

Voila, pour la première il doit y avoir une autre méthode en utilisant les propriétés géométriques que je te conseille de chercher mais moi j'ai utilisé pythagore pour montrer que PN = QM et que QP = MN donc qu'on a un parallélogramme. Du coup je réponds a plusieurs questions de la suite de l'exercice :

 

Pythagore : DQ = BN = CP = AM = x

 

DP = 6-x donc QP = [tex]\sqrt{(6-x)^{2}+x^{2}}[/tex]

MB = 6-x donc MN = [tex]\sqrt{(6-x)^{2}+x^{2}}[/tex]   ==> QP = MN

 

NC = 10-x donc PN = [tex]\sqrt{(10-x)^{2}+x^{2}}[/tex]

AQ = 10-x donc QM = [tex]\sqrt{(10-x)^{2}+x^{2}}[/tex]   ==>  PN = QM

 

2) a)[tex]0\leq x [/tex] car une longueur est toujours positive et [tex]x\leq 6 [/tex] car M appartient à [AB] et P appartient à [CD] et au delà de 6 les pts M et P n'appartiennent plus a leurs segments respectifs. 

b) Déja faite

3) a) MN = [tex]\sqrt{(6-x)^{2}+x^{2}}[/tex] = f(x)

b ) f'(x) = ([tex]\sqrt{2x^{2}-12x+36}[/tex])' =[tex]\frac{2x-6}{\sqrt{2x^{2}-12x+36}}[/tex]

Signe de f' est le même que celui de "2x-6" 

[tex]2x-6\geq 0 <=> 2x\geq 6 <=> x\geq 3[/tex] donc f est décroissante sur [0;3] et est croissante sur [3;6]

c) je te laisse faire

4) a) Déjà faite, je l'ai appelé PN au lieu de NP

 NP = [tex]\sqrt{(10-x)^{2}+x^{2}}[/tex] = g(x)

b ) g'(x) = ([tex]\sqrt{2x^{2}-20x+100}[/tex])' =[tex]\frac{2x-10}{\sqrt{2x^{2}-20x+100}}[/tex]

Signe de g' est le même que celui de "2x-10" 

[tex]2x-10\geq 0 <=> 2x\geq 10 <=> x\geq 5[/tex] donc g est décroissante sur [0;5] et est croissante sur [5;6]

c) je te laisse faire

5) a)L= h(x) = 2f(x)+2g(x) = périmètre du parallélogramme

b) f et g sont décroissantes sur [0;3] donc h(x)  est décroissante sur [0;3]

f et g sont croissantes sur [5;6] donc h(x) est croissante sur [5;6]

c) sur cet intervalle f est croissante et g est décroissante mais on ne peut pas savoir laquelle des deux fonctions prendra le dessus, en gros on ne peut pas savoir facilement...

d)Oui, elle est d'abord décroissante en entrant dans l'intervalle puis elle est croissante en sortant de l'intervalle donc, naturellement, elle change de sens de variation.

 

Voila, en espérant que tu apprécie mon geste, un merci n'est pas de refus :D 

 

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