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on considere la fontion f definie sur R par f(x)= x puissance 4-x²+1 1) etudier les variations de lafontion f.Dresser son tableau de variations. 2) dans un repere othonormé du plan, on considere la parabole P d'équation y=1-x² et M un point de cette parabole. Montrer que OM²=f(x) 3) Determiner les coordonnées du point m de ma parabole tel que la distance OM soit minimale

Sagot :

∀x∈R, f(x)=x⁴-x²+1

1) Etude du sens de variation

∀x∈R, f'(x)=4x³-2x=x(4x²-2)=2x((√2x)²-1²)=2x(√2x-1)(√2x+1)

Faire le tableau de variation, on obtient :

∀x∈]-∞;-1/√2[U]0;1/√2[, f'(x)<0 d'où f est strictement décroissante

∀x∈]-1/√2;0[U]1/√2;+∞[, f'(x)>0 d'où f est strictement croissante

f(-1/√2)=0 et f décroissante avant -1/√2 et croissante après -1/√2 démontre qu'il existe un minimum en -1/√2 avec f(-1/√2)=(-1/√2)⁴-(-1/√2)²+1=1/4-1/2+1=3/4

donc f admet un minimum de coordonnées (-1/√2;3/4)

f(0)=0 et f croissante avant 0 et décroissante après 0 démontre qu'il existe un minimum en 0 avec f(0)=(0)⁴-(0)²+1=0+0+1=1

donc f admet un minimum de coordonnées (0;1)

f(1/√2)=0 et f décroissante avant 1/√2 et croissante après 1/√2 démontre qu'il existe un minimum en 1/√2 avec f(1/√2)=(1/√2)⁴-(1/√2)²+1=1/4-1/2+1=3/4

donc f admet un minimum de coordonnées (1/√2;3/4)

 

2)soit M∈P : y=1-x²

O(0;0) et M(x;1-x²)

d'où OM²=(xM-xO)²+(yM-yO)²

=(x-0)²+(1-x²-0)²

=x²+(1-x²)²

=x²+(1-2x²+x⁴)

=x²-2x²+1+x⁴

=x⁴-x²+1=f(x) => OM²=f(x)

 

3)OM²=f(x) donc OM=√f(x)

pour que OM soit minimale, il faut calculer sa dérivée

(√f(x))'=(1/2)(f'(x))/√f(x) avec le dénominateur ≠ 0 car une √ est toujours >0

donc le signe de (√f(x))' est identique à celui de f'(x)

or f' admet 2 minimums en -1/√2 et en 1/√2

d'où OM mini=√f(-1/√2)=√f(1/√2)=√(3/4)=(√3)/2≈0,87

 

 

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