∀x∈[-3;3], f(x)=x³-3x
1) on sait que toute fonction polynôme à coefficients réels est continue sur ]-∞;+∞[
or l'application x -> x³-3x est polynomiale donc continue sur ]-∞;+∞[
si f est continue sur ]-∞;+∞[ alors elle est continue sur [-3;3]
2) ∀x∈[-3;3], f'(x)=3x²-3=3(x²-1)=3(x²-1²)=3(x-1)(x+1)
3) Faire un tableau de signe avec 3 lignes (x-1, x+1 et f') et 3 colonnes (-3,-1),(-1,1) et (1,3). x+1=0 en x=-1, x-1=0 en x=1 et f'(x)=0 en x=-1 et x=1.
∀x∈[-3;-1[U]1;3], f'(x)>0 et ∀x∈]-1;1[, f'(x)<0 avec aussi f(-1)=f(1)=0
4)∀x∈[-3;-1[U]1;3], f'(x)>0 donc f est strictement croissante sur [-3;-1[U]1;3]
∀x∈]-1;1[, f'(x)<0 donc f est strictement décroissante sur ]-1;1[
f'(-1)=0 et f croissante avant -1 et décroissante après -1 donc f admet un maximum en -1 avec f(-1)=(-1)³-3(-1)=-1+3=2 => f admet un maximum de coordonnées (-1;2)
f'(1)=0 et f décroissante avant 1 et croissante après 1 donc f admet un minimum en 1 avec f(1)=(1)³-3(1)=1-3=-2 => f admet un minimum de coordonnées (1;-2)
5)a) T tangente en a : y=f'(a)(x-a)+f(a) ou f'(a) représente le coefficient directeur de la droite au point d'abscisse a
Coefficient directeur de la tangente T à la courbe repésentée par f au point d'abscisse 2 : f'(2)=3(2²)-3=3(4)-3=12-3=9
b) T : y=9(x-2)+f(2)
or f(2)=2³-3(2)=8-6=2
donc T : y=9x+2
