queenomega
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Bonjour,

 

déterminer les coefficients a,b,c etd de la fonction suivantes :

 

f(x)=ax au cube + bx au carré + cx +d

 

sachant que f(1)=-1;f(2)=9;f(-2)=17

 

et que f admet un externum en -5/3

 

je suppose que je dois me retrouver avec un système de 4 équations à 4 inconnues à résoudre avec la méthode de gauss.

 

La première équation pour moi est:

 

a+b+c+d=-1

8a+4b+2c+d=9

-8a+4b-2c+d=17

 

mais je ne sais pas comment trouver la 4ème avec l'externum -5/3

 

pouvez-vous m'aider svp?

Sagot :

f(1)=-1 donne la relation a+b+c+d=-1

f(2)=9 donne la relation 8a+4b+2c+d=9

f(-2)=17 donnela relation -8a+4b-2c+d=17

 

comme f'(x)=3ax²+2bx+c, on a f'(-5/3)=0 qui donne 25a-10b+3c=0

 

astuce : combine par + et par - les 2eme et 3eme equations : cela donne 4b+d=26 et 16a+4c=-8 soit 4a+c=-2

f(1)=-1 donne la relation a+b+c+d=-1

f(2)=9 donne la relation 8a+4b+2c+d=9

f(-2)=17 donnela relation -8a+4b-2c+d=17

f admet un externum en -5/3 donc f'(-5/3)=0

et comme f'(x)=3ax²+2bx+c, on a f'(-5/3)=0 => 25a-10b+3c=0

 

(E1) : a+b+c+d=-1

(E2) : 8a+4b+2c+d=9

(E3) : -8a+4b-2c+d=17

(E4) : 25a-10b+3c=0

 

(E2)+(E3) : 8b+2d=26 => 4b+d=13 => d=13-4b

(E2)-(E3) : 16a+4c=-8 => 4a+c=-2 => c=-2-4a

(E1) : a+b+c+d=-1 => a+b-2-4a+13-4b=-1 => -3a-3b=-12 => a+b=4 =>b=4-a

(E4) : 25a-10b+3c=0 => 25a-10(4-a)+3(-2-4a)=0 => 25a-40+10a-6-12a=0 => 23a=46

 

(E4) : 23a=46 => a=46/23=2

(E1) : b=4-a=4-2=2

(E2)-(E3) : c=-2-4a=-2-4(2)=-2-8=-10

(E2)+(E3) : d=13-4b=13-4(2)=13-8=5

 

d'où f(x)=2x³+2x²-10x+5

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