emilie2109
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On considère un rectangle ABCD. On place sur les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA], les points E, F, G et H tels que AE/AB = AH/AD = CF/CB = CG/CD = k où k est un nombre compris entre 0 et 1. a. Démontre que les droites (EH) et (FG) sont parallèles. b. Démontre que BE/BA = BF/BC puis que DG/DC = DH/DA c. Démontre que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme. d. Démontre que le périmètre du parallélogramme EFGH reste constant lorsque k varie.

Sagot :

on a évidemment AE=CG ar AB=CD et CF=AH car AB=AD. les traiangles rectangles CGF et AHE sont superposables et donc GF//HE

 

BE/BA=(BA-AE)/BA=1-(AE/AB)=1-k et de même BF/BC=(BC-CF)/BC=1-(CF/CB)=1-k

 

donc avec le mêm raisonnement et (1-k) on aura GH//EF et EFGH est bien un //logramme

 

ona GF²=HE²=AE²+AH²=k²(AB²+AD²) et donc GF=k*racine(AB²+AD²)

de même GH²=EF²=BF²+EB²=(1-k)²(BC²+BA²) donc GH=(1-k)*racine(AB²+AD²)

 

fonalement le périmètre vaut 2(k+1-k)*racine(AB²+AD²)

soit 2*racine(AB²+AD²) ne dépend pas de k !

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