michlegike55
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on se propose de résoudre le problème suivant : peut on trouver un réel positif qui, une fois élevé au cube à la même valeur que son double augmenté de 1? a) réaliser cette feuille de calcul et donner un encadrement d'une solution au problème b) modifier la feuille de calcul de façon à donner une valeur approchée de la solution à 0.1 près

Sagot :

x³=2x+1

x³-2x-1=0

on remarque que pour x=-1 on (-1)³-2(-1)-1=-1+2-1=0 d'où x=-1 solution de x³-2x-1=0

d'où x³-2x-1=(x+1)(ax²+bx+c)=ax³+bx²+cx+ax²+bx+c=ax³+(a+b)x²+(b+c)x+c

avec a=1, a+b=0, b+c=-2 et c=-1

d'où

a=1

a+b=0 => b=-a=-1

c=-1

vérification : b+c=-1+(-1)=-2 cqfd

d'où x³-2x-1=(x+1)(x²-x-1)

On cherche les solutions de x²-x-1=0 est de la forme ax²+bx+c=0

∆=b²-4ac=(-1)²-4(1)(-1)=1=(√5)² donc ∆>0 => 2 solutions x₁ et x₂

x₁=(-b-√∆)2a=(-(-1)-√5)/(2(1))=(1-√5)/2

x₂=(-b+√∆)2a=(-(-1)+√5)/(2(1))=(1+√5)/2

d'où x³-2x-1=(x+1)(x-(1-√5)/2)(x-(1+√5)/2)

les solutions de x³-2x-1=0 sont : S={-1; (1-√5)/2; (1+√5)/2}

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