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EXERCICE , merci de m'aider, HELP

Le service des espaces verts veut border un espace rectangulaire de 924m de long sur 728m de large, à l'aide d'arbustes régulièrement espacés. Un arbuste sera planté à chaque angle du terrain, La distance entre 2 arbustes doit etre un nombre entier de mètres.

1) déterminer toutes les valeurs possibles de la distance entre deux arbustes.

2) déterminez, dans chaque cas, le nombre d'arbustes nécessaires à la plantation.

Merci à celui, celle ou ceux qui m'aideront.

Sagot :

Eliott78
Raisonnement :
Puisqu'il y a un arbuste à chaque angle on peut dire qu'il y a n arbustes et qu'il y aura
n-1 intervalles entre chaque arbuste.
Ceci étant, il faut que 924 et 728 soient divisibles par n-1 pour avoir une distance entière. 

1) trouver tous les facteurs communs aux deux longueurs 924 et 728
d'abord on décompose en facteurs premiers
924 = 2² x 3 x 7 x 11
728 = 2³ x 7 x 13
On cherche le plus grand diviseur commun
PGCD (924;728) = 2² x 7 = 28
Les valeurs possibles seront donc comprises entre [1 et 28] incluses.

A partir de la décomposition en facteurs premiers de 28, on cherche le nombre de diviseurs de 28 pour connaitre le nombre de valeurs possibles :
(2+1) × (1+1) = 6
Ainsi il y a 6 valeurs

Quelles sont ces valeurs ? On recherche chaque combinaison possible dans la décomposition en facteurs premiers de 84 :
1 ; 2 ; 7 ; 2² ; (2x7) ; (2²x7) ;
Les 6 valeurs possibles de la distance entre 2 arbustes sont :
 1 m ; 2 m ; 4 m ; 7 m ; 14 m ; 28 m.

2) Etant donné que l'on doit border un espace rectangulaire fermé, le nombre d'intervalles est égal au nombre d'arbres.
Tout d'abord calculer le périmètre du rectangle est : [(L + l) ×2]
(924 + 728) x 2 = 3304 m
Le périmètre de l'espace rectangulaire est de 3 304 mètres.

Pour connaitre le nombre d'arbres à planter pour chacune des 6 valeurs possibles de l'intervalle entre chaque arbuste, il suffit de diviser le périmètre par la distance entre deux arbres.
Intervalle :                      Calcul  :            Nombre d'arbres nécessaires :
Distance de 1m   => [tex] \frac{3 304}{1} [/tex] = 3004 arbres
Distance de 2m   => [tex] \frac{3 304}{2} [/tex] = 1652 arbres
Distance de 4m   => [tex] \frac{3 304}{4} [/tex] = 826 arbres
Distance de 7m   => [tex] \frac{3 304}{7} [/tex] = 472 arbres
Distance de 14m => [tex] \frac{3 304}{14} [/tex]= 236 arbres
Distance de 28m =>[tex] \frac{3 304}{28} [/tex] = 118 arbres           
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