Bonsoir,
1)
1.1)Il s'agit de l'identité remarquable (a+b)² = a²+2ab+b²
[tex]A\left(x\right) = \left(x+1\right)^2-x^2\\
A\left(x\right) = x^2+2\times 1\times x +1^2-x^2\\
A\left(x\right) = 2x+1[/tex]
1.2)La différence des carrés de deux nombres entiers consécutifs s'écrit donc 2x+1, x étant le plus petit des deux nombres.
Il faut résoudre 2x+1 = 111 :
[tex]2x+1 = 111\\
2x = 110\\
x = 55[/tex]
Le premier nombre est 55 et le deuxième est 55+1 = 56 ; en effet, on a 56²-55² = 111.
2)
2.1)
Développons cette expression avec l'identité remarquable (a-b)² = a²-2ab+b² :
[tex]\left(x-4\right)^2-1 = x^2-2\times x \times 4 +4^2 -1 = x^2-8x+15 = f\left(x\right)[/tex]
2.2)On peut factoriser l'expression ci-dessus avec l'identité remarquable a²-b² = (a-b)(a+b) :
[tex]f\left(x\right) = \left(x-4\right)^2-1\\
f\left(x\right) = \left(x-4\right)^2-1^2\\
f\left(x\right) = \left(x-4-1\right)\left(x-4+1\right)\\
f\left(x\right) = \left(x-5\right)\left(x-3\right)\\[/tex]
2.3)
2.3.a)
Il faut utiliser la forme développée de f.
[tex]f\left(\sqrt 3\right) = \left(\sqrt 3\right)^2-8\sqrt 3 +1\\
f\left(\sqrt 3\right) = 3 -8\sqrt 3 +1 = 4 -8\sqrt 3[/tex]
2.3.b)
Il faut utiliser la forme factorisée de f et résoudre une équation-produit :
(x-5)(x-3) = 0
Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul, donc :
x-5 = 0
x = 5
Ou
x-3 = 0
x = 3
[tex]S = \left\{3 ; 5\right\}[/tex]
2.3.c)Il faut utiliser la forme canonique de la fonction :
[tex]f\left(4\right) = \left(4-4\right)^2-1 = 0-1 = =-1[/tex]
Pour tout réel x, on a :
[tex]\left(x-4\right)^2 \geq 0[/tex]
En effet, un carré est toujours positif.
Donc on a :
[tex]\left(x-4\right)^2 -1\geq -1\\
f\left(x\right)\geq -1[/tex]
Donc -1 est le minimum de f sur R.
Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
