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Sagot :
Bonjour,
1)
a)On utilise la relation de Chasles :
[tex]2\vec{GA} +5\vec{GB} +3\vec{GC} = \vec 0\\ 2\vec{GA} +5\vec{GA} +5\vec{AB} +3\vec{GA} +3\vec{AC} = \vec 0\\ 10\vec {GA} +5\vec{AB} +3\vec{AC} = \vec 0\\ 10 \vec {AG} = 5\vec{AB} +3\vec{AC}\\ \vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} + \frac 3{10} \vec {AC}[/tex]
b)Il faut commencer par tracer la droite d'équation x = 1/2 dans le repère (A ; AB ; AC), c'est à dire la parallèle à (AC) passant par le milieu J de AB, puis placer le point G tel que JG = 1/3 AC (vecteurs).
2)
a)Il faut utiliser la méthode vue au 1)b) pour construire le point N
b)
b)Il s'agit de montrer que les vecteurs MG et MN sont colinéaires. On utilise la relation de Chasles :
[tex]\vec{MG} = \vec{MA}+\vec{AG}\\ \vec{MG} = \vec{MA} +\frac 12 \vec{AB} + \frac{3}{10} \vec{AC}\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(10\vec{MA}+ 5 \vec{AB} +3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(10\vec{MA}+ 5 \vec{AB} +3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+ 5\vec{MA}+5 \vec{AB} +3\vec{MA}+3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+ 5\vec{MB} +3\vec{MC}\right)\\ \vec{MG} = \frac {1}{10} \vec{MN}[/tex]
Les vecteurs MG et MN sont colinéaires, donc M, G et N sont alignés.
3)
a)
[tex]2\vec{IA} +5\vec{IB} = \vec 0\\ 2\vec{IA} +5\vec{IA} +5\vec{AB} =0\\ -7\vec{AI} =- 5\vec{AB}\\ \vec{AI} = \frac 57 \vec{AB}[/tex]
b)Même méthode que pour le 1)b).
c)
On utilise l'égalité (E') pour exprimer le vecteur GI en fonction de AB et de AC :
[tex]\vec{AI} = \frac 57 \vec{AB}\\ \vec{AG}+\vec{GI} = \frac 57 \vec{AB}\\ \vec{GI} = \frac 57 \vec{AB} -\frac 12 \vec{AB} -\frac{3}{10} \vec{AC}\\ \vec{GI} = \frac {3}{14} \vec{AB} -\frac{3}{10} \vec{AC}[/tex]
On utilise (E) pour exprimer GC en fonction de AB et de AC :
[tex]\vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} +\frac{3}{10} \vec{AC}\\ \vec{CA}+\vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} -\frac{7}{10} \vec{AC}\\ \vec{CG} = \frac 12 \vec{AB} -\frac{7}{10} \vec{AC}\\ \vec{GC} = -\frac 12 \vec{AB} +\frac{7}{10} \vec{AC}\\ \vec{GC} =- \frac 73 \left(\frac{3}{14} \vec{AB}- \frac{3}{10} \vec{AC}\right)\\ GC = -\frac 73 \vec{GI}[/tex]
Les vecteurs GC et GI sont colinéaires, donc les points G, I et C sont alignés.
Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
1)
a)On utilise la relation de Chasles :
[tex]2\vec{GA} +5\vec{GB} +3\vec{GC} = \vec 0\\ 2\vec{GA} +5\vec{GA} +5\vec{AB} +3\vec{GA} +3\vec{AC} = \vec 0\\ 10\vec {GA} +5\vec{AB} +3\vec{AC} = \vec 0\\ 10 \vec {AG} = 5\vec{AB} +3\vec{AC}\\ \vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} + \frac 3{10} \vec {AC}[/tex]
b)Il faut commencer par tracer la droite d'équation x = 1/2 dans le repère (A ; AB ; AC), c'est à dire la parallèle à (AC) passant par le milieu J de AB, puis placer le point G tel que JG = 1/3 AC (vecteurs).
2)
a)Il faut utiliser la méthode vue au 1)b) pour construire le point N
b)
b)Il s'agit de montrer que les vecteurs MG et MN sont colinéaires. On utilise la relation de Chasles :
[tex]\vec{MG} = \vec{MA}+\vec{AG}\\ \vec{MG} = \vec{MA} +\frac 12 \vec{AB} + \frac{3}{10} \vec{AC}\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(10\vec{MA}+ 5 \vec{AB} +3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(10\vec{MA}+ 5 \vec{AB} +3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+ 5\vec{MA}+5 \vec{AB} +3\vec{MA}+3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+ 5\vec{MB} +3\vec{MC}\right)\\ \vec{MG} = \frac {1}{10} \vec{MN}[/tex]
Les vecteurs MG et MN sont colinéaires, donc M, G et N sont alignés.
3)
a)
[tex]2\vec{IA} +5\vec{IB} = \vec 0\\ 2\vec{IA} +5\vec{IA} +5\vec{AB} =0\\ -7\vec{AI} =- 5\vec{AB}\\ \vec{AI} = \frac 57 \vec{AB}[/tex]
b)Même méthode que pour le 1)b).
c)
On utilise l'égalité (E') pour exprimer le vecteur GI en fonction de AB et de AC :
[tex]\vec{AI} = \frac 57 \vec{AB}\\ \vec{AG}+\vec{GI} = \frac 57 \vec{AB}\\ \vec{GI} = \frac 57 \vec{AB} -\frac 12 \vec{AB} -\frac{3}{10} \vec{AC}\\ \vec{GI} = \frac {3}{14} \vec{AB} -\frac{3}{10} \vec{AC}[/tex]
On utilise (E) pour exprimer GC en fonction de AB et de AC :
[tex]\vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} +\frac{3}{10} \vec{AC}\\ \vec{CA}+\vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} -\frac{7}{10} \vec{AC}\\ \vec{CG} = \frac 12 \vec{AB} -\frac{7}{10} \vec{AC}\\ \vec{GC} = -\frac 12 \vec{AB} +\frac{7}{10} \vec{AC}\\ \vec{GC} =- \frac 73 \left(\frac{3}{14} \vec{AB}- \frac{3}{10} \vec{AC}\right)\\ GC = -\frac 73 \vec{GI}[/tex]
Les vecteurs GC et GI sont colinéaires, donc les points G, I et C sont alignés.
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