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Etant donné un triangle ABC, soit G le point défini par l'égalité (E) :
             2GA(vecteur) + 5GB(vecteur) + 3GC(vecteur) = 0(vecteur)

1) a) Montrer que l'égalité (E) équivaut à :
  AG(vecteur) =  = 
  
   b) Construire le point G, après avoir tracé un triangle ABC

2) Etant donné un point M quelconque du plan, soit N le point défini par l'égalité : 
   MN(vecteur) = 2MA(vecteur) + 5MB(vecteur) + 3MC(vecteur)
  a) Marquer un point M quelconque, puis construire N .
  b) Démontrer que les points M, G et N sont alignés 
MERCI D'AVANCE :D

Sagot :

xxx102
Bonjour,

1)
a)Relation de Chasles :
[tex]2\vec{GA} + 5\vec{GB} + 3\vec{GC} = \vec 0\\ 2\vec{GA} +5\vec{GA}+5\vec{AB} +3\vec{GA}+3\vec{AC} = \vec 0\\ 5\vec{AB}+3\vec{AC} = 10\vec{AG}\\ \vec{AG} = \frac 12 \vec{AB} +\frac{3}{10} \vec{AC}[/tex]

b)Il faut placer le point G tel que AG = 1/2 AB + 3/10 AC (avec les flèches), donc dans le repère (A ; AB ; AC), il faut tracer la droite d'équation x = 2, soit la droite parallèle à (AB) qui passe par son milieu I et placer sur cette droite le point G tel que IG = 3/10 AC (avec les flèches).

2)
a)Il faut placer un point M quelconque, puis utiliser la méthode vue plus haut pour placer le point N.

b)Il faut montrer que les vecteurs MG et MN sont colinéaires. Exprimons le vecteur MG :
[tex]\vec{MG} = \vec{MA}+\vec{AG}\\ \vec{MG} = \vec{MA}+\frac 12 \vec{AB} +\frac{3}{10} \vec{AC}\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(10\vec{MA}+5\vec{AB} + 3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+5\vec{MA}+5\vec{AB}+ 3\vec{MA}+ 3\vec{AC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \left(2\vec{MA}+5\vec{MB} + 3\vec{MC}\right)\\ \vec{MG} = \frac{1}{10} \vec{MN}[/tex]

Les vecteurs MG et MN sont colinéaires, donc M, G et N sont alignés.

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