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Sagot :
ABCD est un losange de centre O tel que :
AO = 7/15 (cm)
OB = 8/5 (cm)
a) Démontrer que le triangle AOB est rectangle en O
Si ABCD est un losange, alors ses 2 diagonales sont ┴. Donc : AC ┴ BD → AO ┴ OB
→ le triangle AOB est rectagle en O.
b) Calculer AB
Dans le triangle rectangle AOB, le théorème de Pythagore vous permet d'écrire :
AB² = AO² + OB²
AB² = (7/15)² + (8/5)²
AB² = (7²/15²) + (8²/5²)
AB² = (49/225) + (64/25) → vous réduisez au même dénominateur, ici, c'est : 225
AB² = (49/225) + [(64 * 9)/(25 * 9)]
AB² = (49/225) + (576/225)
AB² = (49 + 576)/225
AB² = 625/225 → vous simplifiez par 25 en haut et en bas
AB² = 25/9
AB² = 5²/3²
AB² = (5/3)²
AB = 5/3
c) Calculer le périmètre du triangle AOB
p = AO + OB + AB
p = (7/15) + (8/5) + (5/3) → vous réduisez au même dénominateur, ici, c'est : 15
p = (7/15) + (24/15) + (25/15)
p = (7 + 24 + 25)/15
p = 56/15
p ≈ 3,733 cm
p = 3,8 cm (valeur arrondie au dixième près, c’est-à-dire à 1 chiffre après la virgule)
d) Calculer l'aire du triangle AOB
a = (AO * OB)/2
a = [(7/15) * (8/5)]/2
a = [(7 * 8)/(15 * 5)]/2
a = [56/75]/2
a = 56/(75 * 2)
a = (28 * 2)/(75 * 2) → vous simplifiez par 2
a = 28/75 → ce sont des cm²
e) Calculer l'aire du losange ABCD
L'aire du losange, c'est 4 fois l'aire du triangle
A = 4 * a
A = 4 * (28/75)
A = (4 * 28)/75
A = 112/75 → ce sont des cm²
e) La perpendiculaire à (AB) passant par O coupe (AB) en H. Calculer OH
Vous voyez si vous avez fait un dessin, que :
OH = BC/2 → et vous savez que : BC = AB
OH = AB/2
OH = (5/3)/2
OH = 5/(3 * 2)
OH = 5/6 cm
AO = 7/15 (cm)
OB = 8/5 (cm)
a) Démontrer que le triangle AOB est rectangle en O
Si ABCD est un losange, alors ses 2 diagonales sont ┴. Donc : AC ┴ BD → AO ┴ OB
→ le triangle AOB est rectagle en O.
b) Calculer AB
Dans le triangle rectangle AOB, le théorème de Pythagore vous permet d'écrire :
AB² = AO² + OB²
AB² = (7/15)² + (8/5)²
AB² = (7²/15²) + (8²/5²)
AB² = (49/225) + (64/25) → vous réduisez au même dénominateur, ici, c'est : 225
AB² = (49/225) + [(64 * 9)/(25 * 9)]
AB² = (49/225) + (576/225)
AB² = (49 + 576)/225
AB² = 625/225 → vous simplifiez par 25 en haut et en bas
AB² = 25/9
AB² = 5²/3²
AB² = (5/3)²
AB = 5/3
c) Calculer le périmètre du triangle AOB
p = AO + OB + AB
p = (7/15) + (8/5) + (5/3) → vous réduisez au même dénominateur, ici, c'est : 15
p = (7/15) + (24/15) + (25/15)
p = (7 + 24 + 25)/15
p = 56/15
p ≈ 3,733 cm
p = 3,8 cm (valeur arrondie au dixième près, c’est-à-dire à 1 chiffre après la virgule)
d) Calculer l'aire du triangle AOB
a = (AO * OB)/2
a = [(7/15) * (8/5)]/2
a = [(7 * 8)/(15 * 5)]/2
a = [56/75]/2
a = 56/(75 * 2)
a = (28 * 2)/(75 * 2) → vous simplifiez par 2
a = 28/75 → ce sont des cm²
e) Calculer l'aire du losange ABCD
L'aire du losange, c'est 4 fois l'aire du triangle
A = 4 * a
A = 4 * (28/75)
A = (4 * 28)/75
A = 112/75 → ce sont des cm²
e) La perpendiculaire à (AB) passant par O coupe (AB) en H. Calculer OH
Vous voyez si vous avez fait un dessin, que :
OH = BC/2 → et vous savez que : BC = AB
OH = AB/2
OH = (5/3)/2
OH = 5/(3 * 2)
OH = 5/6 cm
a) Tout losange est un parallélogramme et donc les diagonales se coupent en leur milieu donc O est le milieu de BD
mais le triangle ABD est isocèle donc la médiane AO est en même temps médiatrice de BD et donc AO perpendiculaire à BD et l'angle O est droit.
b) AB² = AO² + BO² = 49/225 + 64/25 = 49/225 + 320/225 = 369/225
AB = 3V41/15 cm
c) périmètre du losange = 12V41/15 = 5,1 cm
d) 1) aire AOB = 1/2.7/15.8/5 = 28/75
2) aire du losange = 4xaire AOB = 112/75
e) OH² = OA² + AH²
OH² = OB² + BH²
OH² = BH.AH => 2OH² = 2BH.AH
4OH² = OA² + OB² + (AH² + BH² + 2AH.BH) = OA² + OB² + (AH + BH)²
4OH² = 49/225 + 64/25 + 369/225 = 738/225
OH² = 369/450
OH = V(738)/30
mais le triangle ABD est isocèle donc la médiane AO est en même temps médiatrice de BD et donc AO perpendiculaire à BD et l'angle O est droit.
b) AB² = AO² + BO² = 49/225 + 64/25 = 49/225 + 320/225 = 369/225
AB = 3V41/15 cm
c) périmètre du losange = 12V41/15 = 5,1 cm
d) 1) aire AOB = 1/2.7/15.8/5 = 28/75
2) aire du losange = 4xaire AOB = 112/75
e) OH² = OA² + AH²
OH² = OB² + BH²
OH² = BH.AH => 2OH² = 2BH.AH
4OH² = OA² + OB² + (AH² + BH² + 2AH.BH) = OA² + OB² + (AH + BH)²
4OH² = 49/225 + 64/25 + 369/225 = 738/225
OH² = 369/450
OH = V(738)/30
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