Bonsoir,
2)
a)C'est une application directe du théorème de Thalès :
Les droites (BD) et (CE) se coupent en A et on a (BC) // (DE), donc d'après le théorème de Thalès :
[tex]\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}\\
\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE} = \frac{AB}{3AB} = \frac 13\\
AE= 3AC
[/tex]
b)Même chose.
Les droites (BD) et (IC) se coupent en A et (AI) //(DJ) (puisque ces droites sont, par définition, toutes deux perpendiculaires à (AE)).
D'après le théorème de Thalès :
[tex]\frac{AB}{AD} = \frac{AI}{AJ} = \frac{BI}{DJ}\\
\frac{BI}{DJ} = \frac 13\\
3IB = DJ[/tex]
c)D'après la question a),
[tex]\frac{AB}{AD}= \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} = \frac 13\\
3BC = DE[/tex]
3)Le périmètre de ABC peut s'écrire :
[tex]P_{ABC} = AB+BC+CA[/tex]
Le périmètre de ADE est :
[tex]P_{ADE} = AD+DE+EA[/tex]
D'après la question 2, on a :
[tex]P_{ADE} = 3AB+3BC+3CA = 3\left(AB+BC+CA\right) = 3\times P_{ABC}[/tex]
4)L'aire du triangle ABC est :
[tex]A_{ABC} = \frac{AC\times BI}{2}[/tex]
L'aire du triangle ADE est :
[tex]A_{ADE} = \frac{AE\times DJ}{2} = \frac{3AC\times 3BI}{2} = 9\times \frac{AC\times BI}{2} = 9\times A_{ABC}[/tex]
Si tu as des questions, n'hésite pas! =)
