heemlywraCs
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De prime abord, un petit bonsoir à tout le monde :) Donc j'ai un petit souci en maths et donc oui j'ai besoin d'aide...

On a f(x) = x³ - 3x
Et on me demande de démontrer que pour tous réels a et b :
f(a) - f(b) = (a - b) [ (a - 1)(a + 1) + (ab - 1) + (b-1)(b + 1) ]  

Voici ma démarche :
f(a) - f(b)
= (a³ - 3a) - (b³ - 3b)
= a³ - 3a - b³ + 3b
= a³ - b³ - 3a + 3b
= (a - b)(a² + ab + b²) - 3a + 3b
= (a - b)(a² + ab + b²) - 3(a - b)
= (a - b) [ a² + ab + b² - 3 ]  

Et là je suis bloquée, je n'arrive pas à voir comment est-ce que je pourrai aboutir à :
(a - b) [ (a - 1)(a + 1) + (ab - 1) + (b-1)(b + 1) ]


Et sinon au passage pourriez vous m'aider pour cette équation du 3e degré :
x³ - 3x + 4 = 0
Donc s'il y a une personne assez sensible et qui comprend à quel point c'est énervant de se trouver dans cette situation pourrait m'expliquer comment faire ça serait super ;o    

Sagot :

On a f(x) = x³ - 3x
Montrer que :
f(a) - f(b) = (a - b) [ (a - 1)(a + 1) + (ab - 1) + (b-1)(b + 1) ]  

f(a) - f(b)
= (a³ - 3a) - (b³ - 3b)
= a³ - 3a - b³ + 3b
= a³ - b³ - 3a + 3b
= (a - b)(a² + ab + b²) - 3a + 3b
= (a - b)(a² + ab + b²) - 3(a - b)
= (a - b) [ a² + ab + b² - 3 ]  
=(a-b) [a²-1+ab-1+b²-1]
=(a-b) [(a-1)(a+1)+(ab-1)+(b-1)(b+1)]

x³ - 3x + 4 = 0
x=-2,1958...
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