Laurentvidal.fr vous aide à trouver des réponses à toutes vos questions grâce à une communauté d'experts passionnés. Découvrez des réponses détaillées à vos questions grâce à un vaste réseau de professionnels sur notre plateforme de questions-réponses complète. Obtenez des réponses immédiates et fiables à vos questions grâce à une communauté d'experts expérimentés sur notre plateforme.

Bonjour, j'ai un peu de mal avec ce devoir.

soit Un = 1/k² avec k allant de 1 à n (n>1) 
1. calculer les quatres premiers termes de Un 
J'ai trouvé: U1=1 ; U2= 5/4 ; U3=49/36 et U4=205/144 

2. justifier qu Un est strictement croissante 
je fais Un+1-Un et j'étudie le signe 
donc 
Un+1=Un+1/(n+1)² 
Mais je comprend pas comment faire pour Un 
3.a. 
il faut prouver que pour k>(ou égale à 2 ) 1/k²<1/(k-1)-1/k 
pour cela j ai mis sur le même dénominateur : 
1/(k-1)-1/k=1/(k²-k) 
or, k²>k²-k 
donc 1/k²<1/(k²-k) 
3.b. En sommant les inégalités obtenues pour k variant de 2 à n, établir que Un<2-(1/n) 
je ne sais pas comment faire. 
3.c.La suite Un peut elle tendre vers + l'infinie ? On admet que la suite (Un) tend vers le réel l= pi ²/6 
d. donner une valeur décimale approchée par défaut à 10^-3 près de cette limite l. 
e. Ecrire un algorithme qui permet de déterminer à partir de quel entier n, on a Un> 1.64 
f. Déterminer cette valeur à l'aide de la calculatrice.

Sagot :

1/k²<1/(k-1)-1/k
On va écrire ça en colonne pour K allant de 2 à n et ensuite on sommera membre à membre: la plupart des termes vont s'annuler:
k=2 : 1/4<1-1/2
k=3 : 1/9<1/2-1/3
k=4 : 1/16<1/3-1/4
etc...
k=n-1: 1/(n-1)²<1/(n-2) -1/(n-1)
k=n    : 1/n²<1/(n-1) -1/n
quand on somme membre à membre, il reste
(somme de 2 à n de 1/k²)< 1-1/n
Mais
"somme de 2 à n de 1/k²" ce n'est pas Un, car Un c'est somme de 1 à n de 1/k²
Pour avoir Un à gauche il faut que je rajoute U1 c'est à dire 1. On le rajoute donc de chaque côté et ça donne Un<2-1/n

Nous espérons que nos réponses vous ont été utiles. Revenez quand vous voulez pour obtenir plus d'informations et de réponses à d'autres questions. Nous apprécions votre visite. Notre plateforme est toujours là pour offrir des réponses précises et fiables. Revenez quand vous voulez. Visitez toujours Laurentvidal.fr pour obtenir de nouvelles et fiables réponses de nos experts.