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Bonjour, j'ai un peu de mal avec ce devoir.

soit Un = 1/k² avec k allant de 1 à n (n>1) 
1. calculer les quatres premiers termes de Un 
J'ai trouvé: U1=1 ; U2= 5/4 ; U3=49/36 et U4=205/144 

2. justifier qu Un est strictement croissante 
je fais Un+1-Un et j'étudie le signe 
donc 
Un+1=Un+1/(n+1)² 
Mais je comprend pas comment faire pour Un 
3.a. 
il faut prouver que pour k>(ou égale à 2 ) 1/k²<1/(k-1)-1/k 
pour cela j ai mis sur le même dénominateur : 
1/(k-1)-1/k=1/(k²-k) 
or, k²>k²-k 
donc 1/k²<1/(k²-k) 
3.b. En sommant les inégalités obtenues pour k variant de 2 à n, établir que Un<2-(1/n) 
je ne sais pas comment faire. 
3.c.La suite Un peut elle tendre vers + l'infinie ? On admet que la suite (Un) tend vers le réel l= pi ²/6 
d. donner une valeur décimale approchée par défaut à 10^-3 près de cette limite l. 
e. Ecrire un algorithme qui permet de déterminer à partir de quel entier n, on a Un> 1.64 
f. Déterminer cette valeur à l'aide de la calculatrice.

Sagot :

1/k²<1/(k-1)-1/k
On va écrire ça en colonne pour K allant de 2 à n et ensuite on sommera membre à membre: la plupart des termes vont s'annuler:
k=2 : 1/4<1-1/2
k=3 : 1/9<1/2-1/3
k=4 : 1/16<1/3-1/4
etc...
k=n-1: 1/(n-1)²<1/(n-2) -1/(n-1)
k=n    : 1/n²<1/(n-1) -1/n
quand on somme membre à membre, il reste
(somme de 2 à n de 1/k²)< 1-1/n
Mais
"somme de 2 à n de 1/k²" ce n'est pas Un, car Un c'est somme de 1 à n de 1/k²
Pour avoir Un à gauche il faut que je rajoute U1 c'est à dire 1. On le rajoute donc de chaque côté et ça donne Un<2-1/n

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