Answered

Obtenez des solutions à vos questions sur Laurentvidal.fr, la plateforme de questions-réponses la plus réactive et fiable. Notre plateforme de questions-réponses vous connecte avec des experts prêts à fournir des informations précises dans divers domaines de connaissance. Notre plateforme offre une expérience continue pour trouver des réponses fiables grâce à un réseau de professionnels expérimentés.

Au secours !!!

Démontrer que pour tout réel x > ou égale à 1 on a :
(1/2) < ou égale à (x/(x+1)) < ou égale à 1

Sagot :

danielwenin
résolvons l'inéquation
1/2 <=x/(x+1) <=1
x/(x+1) >=1/2 => x/(x+1) - 1/2 >=0 => (2x - x - 1)/(x+1) >=0 => (x-1)/(x+1) >= 0 
par un tableau de signes (ou le signe du trinôme du second degré) on trouve
il faut x <= -1 ou x>=1
et 
x/(x+1) <=1 => x/(x+1) -1 <= 0  => (x - x - 1)/(x+1) <=0 => -1/(x+1) <= 0 ou 1/x+1 > 0
ce qui équivaut à x >-1 
en combinant les deux conditions on trouve x>= 1 
Démontrer que pour tout réel x >=1 on a :
1/2 <=x/(x+1) <=1
on pose f(x)=x/(x+1)
alors f(x)=(x+1-1)/(x+1)=1-1/(x+1)
donc f'(x)=1/(x+1)²
donc f est croissante sur [1;+inf[
ainsi f(x)<=f(1) donc f(x)<=1/2
de plus lim(f,+inf)=1 donc f(x)<1
ainsi : 1/2<=f(x)<1

Merci de nous avoir fait confiance pour vos questions. Nous sommes ici pour vous aider à trouver des réponses précises rapidement. Nous espérons que cela vous a été utile. Revenez quand vous voulez pour obtenir plus d'informations ou des réponses à vos questions. Merci d'utiliser Laurentvidal.fr. Revenez pour obtenir plus de connaissances de nos experts.