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On considère les paraboles P1 et P2 d'equations respectib=ves:
y=x²+1 et y=-x²-1
On se propose de determiner le nombre de tangentes communes aux deux courbes et les coordonnees des points de contact.
1. Tracer ces deux paraboles dans un repere
2) Le dessin suggere quil existe deux tangentes communes
Dessiner ces deux tangentes.
3. Soit A le point de contact, d'abscisse a , de l'un des tangentes avec la courbe P1
B est le point de contact de la meme tangenete avec la courbe P2
En utilisant la symetrie de la figure, determiner les coordonnees de A et de B
4) Calculer de deux facons differentes , le coefficient directeur de la droite AB
EN resolvant lequation, determiner les valeurs de a possible. conclure

Sagot :

Bonjour,
3) Soit f(x)=x²+1 et g(x)=-x²-1
A(a ; a²+1).
Soit B(b ; -b²-1)
On va chercher les coordonnées de B en fonction de A.
f’(x)=2x ; g’(x)=-2x
Pour que la droite AB soit tangente aux deux courbes il faut que f’(a)=g’(b)
Donc que 2a=-2b donc que b=-a
Donc  B(-a ;-a²-1)
4) Soit m le coef directeur de AB
Coefficient directeur de AB avec les coordonnées de A et B :
(ya-yb)/(xa-xb)=(a²+1)/a
Le coefficient directeur de la tg en A est également f’(a)=2a
Donc il faut que (a²+1)/a=2a ; ce qui donne a²+1=2a² ; donc a²-1=0 ; donc (a+1)(a-1)=0
Donc a=1 ou a=-1
On a donc A(1 ;2) et B(-1 ;-2) Ou A(-1 ;2) et B(1 ;-2)
Je te mets le schéma en attaché


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