Appelons n le nombre de pièces contenues dans le coffre.
n<1500
Les 36 pirates se les partagent et il en reste moins de 10.
Donc n=36q+r,avec r<10 (dans la division euclidienne de n par 36,q est le quotient et r est le reste,qui est <10)
Après s'être débarrassés du chef,les pirates ne sont plus que 35 et se repartagent les n pièces.Cette fois,il n'y a pas de reste.
Donc n est un multiple de 35 (n=35k)
Un pirate s'enfuit avec sa part.Il reste donc 34 pirates et n-k pièces.
Deux pirates s'entretuent.Il reste donc 32 pirates et toujours n-k pièces.Cette fois aussi,il n'a pas de reste.
Donc n-k est un multiple de 32 (n-k=32x)
n-k=35k-k=34k
Donc 34k=32x
Donc 17k=16x
16 divise 16x=17k,or 16 est premier avec 17,donc 16 divise k (théorème de Gauss)
Donc k=16a
n=35k=35*16a=560a
n<1500,donc 560a<1500
Donc a<1500/560<3
Donc a=0,1 ou 2.
Si a=0,n=0
Si a=1,n=560
Or 560=36*15+20 (donc r=20>=10,ce qui est à rejeter car r<10)
Donc a=2 et n=1120.
Vérification:
1120=36*31+4 (r=4<10)
1120/35=32=k
(1120-k)/32=(1120-32)/32=1088/32=34
Ca marche.
Donc n=1120 pièces d'or.
