planus19
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Soit Un = (1+racine de 2)^n. N appartient a N. On admet que chacun de ses termes peut s'écrire de façon unique sous la forme (1+racine de 2)^n = an + bn racine de 2 , avec an et bn entiers naturels.
a/ pour tout entier naturel n, exprimer (an+1 , bn+1) en fonction de (an,bn).
b/ pour tout entier naturel n, on appelle Vn la matrice colonne (1;2) : Vn = [an / bn]. Trouver une matrice carrée (2;2) notée A telle que Vn+1 = AVn.
J'aimerai évidemment de l'aide s'il vous plait.

Sagot :

Soit Un = (1+racine de 2)^n. N appartient a N. On admet que chacun de ses termes peut s'écrire de façon unique sous la forme (1+racine de 2)^n = an + bn racine de 2 , avec an et bn entiers naturels.

a/ pour tout entier naturel n, exprimer (an+1 , bn+1) en fonction de (an,bn).
(1+V2)^n = a(n) + b(n) V2
(1+V2)^(n+1) = (a(n) + b(n) V2)(1+V2)
                   = a(n)+a(n)V2+b(n)V2+2b(n)
                   =[a(n)+2b(n)] + [a(n)+b(n)] V2
donc
a(n+1)=a(n)+2b(n)
b(n+1)=a(n)+b(n)

b/ pour tout entier naturel n, on appelle Vn la matrice colonne (1;2) : Vn = [an / bn]. Trouver une matrice carrée (2;2) notée A telle que Vn+1 = AVn.
     [  1  2  ]
A= [  1  1  ]



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