Bienvenue sur Laurentvidal.fr, où vous pouvez obtenir des réponses fiables et rapides grâce à nos experts. Découvrez des solutions fiables à vos questions grâce à un vaste réseau d'experts sur notre plateforme de questions-réponses complète. Obtenez des réponses détaillées et précises à vos questions grâce à une communauté d'experts dévoués sur notre plateforme de questions-réponses.
Sagot :
Bonsoir,
1) a) Coefficient directeur de la droite (BC) :
[tex]\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_A}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1[/tex]
Coefficient directeur de RQ :
[tex]\dfrac{y_Q-y_R}{x_Q-x_R}=\dfrac{a-0}{0-(-1)}=\dfrac{a}{1}=a[/tex]
Puisque a est différent de -1, les droites sont sécantes.
b) Résoudre le système constitué par les équations des deux droites (BC) et (QR).
Comme nous avons trouvé les coefficient directeurs des deux droites et que les ordonnées à l'origine sont connues, nous avons :
(BC) : y = -x + 1
(PQ) : y = ax + a.
ax + a = -x + 1
x + ax = 1 - a
(1 + a)x = 1 -a.
[tex]x=\dfrac{1-a}{1+a}[/tex]
[tex]y=-x+1=-\dfrac{1-a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+\dfrac{1+a}{1+a}=\dfrac{2a}{1+a}[/tex]
D'où [tex]P:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{2a}{1+a})[/tex]
2°) [tex]\vec{PN}=\vec{CA}\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0-0,0-1)\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0,-1)\\\\x_N - \dfrac{1-a}{1+a}+0\Longrightarrow x_N = \dfrac{1-a}{1+a}\\\\y_N - \dfrac{2a}{1+a}=-1\Longrightarrow y_N=-1+\dfrac{2a}{1+a}\Longrightarrow y_N=\dfrac{-1-a+2a}{1+a}[/tex]
[tex]\Longrightarrow y_N=\dfrac{a-1}{1+a}[/tex]
D'où [tex]N:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})[/tex]
[tex]\vec{BM}=\vec{CQ}\\\\(x_M-1;y_M-0)=(0-0;a-1)\\\\(x_M-1;y_M)=(0;a-1)\\\\x_M-1=0\Longrightarrow x_M=1\\\\y_M=a-1[/tex]
D'où [tex]M:(1;a-1)[/tex]
3) [tex]\vec{RN}=(\dfrac{2}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})\\\\\vec{MR}=(-2;1-a)[/tex]
Vérifions la colinéarité des deux vecteurs.
[tex]-2\times\dfrac{a-1}{1+a}-(1-a)\times\dfrac{2}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2}{1+a}-\dfrac{2-2a}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2-2+2a}{1+a}=0\\\\0=0[/tex]
Les points R,M et N sont alignés.
1) a) Coefficient directeur de la droite (BC) :
[tex]\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_A}=\dfrac{1-0}{0-1}=-1[/tex]
Coefficient directeur de RQ :
[tex]\dfrac{y_Q-y_R}{x_Q-x_R}=\dfrac{a-0}{0-(-1)}=\dfrac{a}{1}=a[/tex]
Puisque a est différent de -1, les droites sont sécantes.
b) Résoudre le système constitué par les équations des deux droites (BC) et (QR).
Comme nous avons trouvé les coefficient directeurs des deux droites et que les ordonnées à l'origine sont connues, nous avons :
(BC) : y = -x + 1
(PQ) : y = ax + a.
ax + a = -x + 1
x + ax = 1 - a
(1 + a)x = 1 -a.
[tex]x=\dfrac{1-a}{1+a}[/tex]
[tex]y=-x+1=-\dfrac{1-a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+1=\dfrac{-1+a}{1+a}+\dfrac{1+a}{1+a}=\dfrac{2a}{1+a}[/tex]
D'où [tex]P:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{2a}{1+a})[/tex]
2°) [tex]\vec{PN}=\vec{CA}\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0-0,0-1)\\\\(x_N - \dfrac{1-a}{1+a};y_N - \dfrac{2a}{1+a})=(0,-1)\\\\x_N - \dfrac{1-a}{1+a}+0\Longrightarrow x_N = \dfrac{1-a}{1+a}\\\\y_N - \dfrac{2a}{1+a}=-1\Longrightarrow y_N=-1+\dfrac{2a}{1+a}\Longrightarrow y_N=\dfrac{-1-a+2a}{1+a}[/tex]
[tex]\Longrightarrow y_N=\dfrac{a-1}{1+a}[/tex]
D'où [tex]N:(\dfrac{1-a}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})[/tex]
[tex]\vec{BM}=\vec{CQ}\\\\(x_M-1;y_M-0)=(0-0;a-1)\\\\(x_M-1;y_M)=(0;a-1)\\\\x_M-1=0\Longrightarrow x_M=1\\\\y_M=a-1[/tex]
D'où [tex]M:(1;a-1)[/tex]
3) [tex]\vec{RN}=(\dfrac{2}{1+a};\dfrac{a-1}{1+a})\\\\\vec{MR}=(-2;1-a)[/tex]
Vérifions la colinéarité des deux vecteurs.
[tex]-2\times\dfrac{a-1}{1+a}-(1-a)\times\dfrac{2}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2}{1+a}-\dfrac{2-2a}{1+a}=0\\\\\dfrac{-2a+2-2+2a}{1+a}=0\\\\0=0[/tex]
Les points R,M et N sont alignés.
Nous apprécions votre visite. Nous espérons que les réponses trouvées vous ont été bénéfiques. N'hésitez pas à revenir pour plus d'informations. Merci de votre visite. Nous sommes dédiés à vous aider à trouver les informations dont vous avez besoin, quand vous en avez besoin. Merci de faire confiance à Laurentvidal.fr. Revenez nous voir pour obtenir de nouvelles réponses des experts.
