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Une entreprise produit entre 5 et 40 appareils électro-ménagers par heure. Le coût horaire de production de x appareils, en euros, est défini par : 
C(x)=x²+50x+96 pour 5 ≤ x ≤ 40. 
Le prix de vente unitaire d'un appareil est de 100 euros. On suppose de plus que chaque appareil produit est vendu. 

1) Quel est le coût horaire de fabrication de 15 appareils ? 
L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices ? 
Si oui indiquer leur montant, sinon donner le montant des pertes. 

2) Justifier que le bénéfice horaire pour la fabrication et la vente de x appareils est défini par : 
B(x)= -x²+50x-96 pour 5 ≤ x ≤ 40. 

3) Résoudre l'inéquation B(x) ≥ 0. 
Interpréter le résultat. 

4) Montrer que pour tout nombre réel x : 
B(x)= -(x-25)²+529 

5) Déduire de la question précédente que B(x) admet un maximum que l'on précisera. 
(On pourra commencer par justifier que -(x-25)²≤ 0 à l'aide d'une propriété des carrés et en déduire une inégalité dont le premier membre est B(x)). 

6) Calculer B(25) et déduire de la question précédente en quelle valeur de x le maximum de B est atteint. 

7) Interpréter les résultats précédents pour l'entreprise. 

Besoin d'aide s'il-vous-plait 

Sagot :

Bonjour,

[tex]1)\ C(x)=x^2+50x+96\\\\C(15)=15^2+50\times15+96\\\\C(15)=225+750+96\\\\C(15)=1071[/tex]

Le coût horaire de fabrication de 15 appareils est égal à 1071 €.

Le prix de vente d'un appareil est 100 €.
Le prix de vente de 15 appareils est 15 * 100 = 1500 €.
Le bénéfice est égal au prix de vente diminué du coût de fabrication.
Le bénéfice pour la vente de 15 appareils est égal à 1500 - 1071 = 429 €

2) Bénéfice = Pris de vente - Coût de fabrication.
[tex]B(x) = 100x - (x^2+50x+96)\\\\B(x) = 100x - x^2-50x-96\\\\B(x)=-x^2+50x-96[/tex]

3) [tex]-x^2+50x-96\ge0[/tex]
Tableau de signes du trinôme.
Racines du trinôme : 
[tex]\Delta=50^2-4\times(-1)\times(-96)\\\\\Delta=2500-384\\\\\Delta=2116\\\\x_1=\dfrac{-50-\sqrt{2116}}{2\times(-1)}=\dfrac{-50-46}{-2}=48\\\\x_2=\dfrac{-50+\sqrt{2116}}{2\times(-1)}=\dfrac{-50+46}{-2}=2[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&2}&&48&&+\infty \\ -x^2+50x-96&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]

Le bénéfice sera positif si 2 ≤ x ≤ 48.
Or les contraintes du problème s'expriment par 5 ≤ x ≤ 40
Donc le bénéfice sera positif si 5 ≤ x ≤ 40.
Comme la production est entre 5 et 40 appareils électro-ménagers par heure, l'entreprise aura donc toujours un bénéfice positif.

4) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(x) = -(x² - 50x + 625) + 529
B(x) = -x² + 50x - 625 + 529
B(x) = -x² + 50x - 96.

5) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(x) - 529 = -(x - 25)² 
Or pour tout x réel, nous avons (x - 25)² ≥ 0 (car un carré n'est jamais négatif)
Multiplions les deux membres par (-1)  ==> le sens de l'inégalité change.
(-1) * (x - 25)² ≤ 0
-(x - 25)² ≤ 0
Donc  B(x) - 529 ≤ 0
B(x) ≤ 529.

B(x) étant inférieur ou égal à 529, B(x) admet un maximum égal à 529.

5) B(x) = -(x - 25)² + 529
B(25) = -(25 - 25)² + 529
B(25) = 0 + 529
B(25) = 529.

Donc B(x) = 529 si x = 25.

7) Par conséquent le bénéfice maximal vaudra 529 € et il sera atteint pour une production égale à 25 appareils par heure.
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