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Le nombre  ɸ étudié dans cette exercice s'appelle le nombre d'or.

1) Montrer que le nombre  ɸ =1+√5/2 est solution de l'équation x² = x+1.

2) En vous servant de la question 1), calculer la valeur exacte de b = √1+√1+1+√5/2.

Sagot :

Bonjour,

1) Il suffit de remplacer x par la valeur de [tex]\Phi[/tex] dans l'équation et de montrer que l'égalité est vraie.
Cela revient à montrer que [tex]\Phi^2=\Phi +1[/tex]

[tex]\Phi^2=(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2})^2=\dfrac{(1+\sqrt{5})^2}{4}\\\\=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{6+2\sqrt{5}}{4}\\\\=\dfrac{2(3+\sqrt{5})}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]

[tex]\Phi+1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+\dfrac{2}{2}\\\\=\dfrac{1+\sqrt{5}+2}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]

Par conséquent l'égalité   [tex]\Phi^2=\Phi +1[/tex] est vraie.

[tex]2)\ b=\sqrt{1+\sqrt{1+\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\Phi}}\\\\\\=\sqrt{1+\sqrt{\Phi^2}}=\sqrt{1+\Phi}=\sqrt{\Phi^2}=\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]

Donc,

[tex]b=\Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
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