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Une entreprise fabriquant des ustensiles de cuisine sait qu'elle peut en produire au moins 100 par jour et au maximum 5 000 par jour.

Son bénéfice, exprimé en milliers d'euros, est donné par:

B(q)= 10* 1+lnq 

                   q

où q est le nombre d'unités produites, en milliers.

 

1/ Expliquer pourquoi la fonction B est définie sur l'intervalle [0,1;5]

2/a_ Résoudre l'équation B(q)=0

b_ Dresser le tableau de signes de B(q)

c_ Trouver le nombre minimal d'unités à produire pour que l'entreprise atteigne le seuil de rentabilité (bénéfice positif)

3/ Calculer B'(q) et en déduire le tableau de variation de B

4/ Trouver le nombre exact d'unités à produire pouyr que l'entreprise obtienne un bénéfice maximal, ainsi que la valeur de ce bénéfice.

Sagot :

1) 100 objets =0,1 millier d'objets >0

5000objets =5 milliers d'objets >0

B est définie sur [0,1;5]

2a)sur [0,1;5]

B(q)=0

 si 1+ln(q)=0 si ln(q)=-1 si q=e^(-x)=1/e

2b) signe de q>0

 signe de 1+ln(q)>0 si q>1/e

==> B(q)< si q<1/e

B(q)=0 si q=1/e

B(q)>0 si q> 1/e

2c)

 

[tex]1/e \approx 0,3678 [/tex]

nombre minimal d'objets à produire 368 

3

[tex]B'(q)=\frac{10ln(q)}{q^2}[/tex]

B'(q)≥0 si  1≤q≤5

B'(q)<0 si  0,1<q<1

 B admet un mximum relatif  si q=1

B(1)=10

bénéfice maximal si  1000 objets sont produits , pour un bénéfice de 10000€

 

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