Bonsoir,
1) Le centre du cercle est le point J(0;1).
Le rayon de ce cercle est égal à 1.
2) Montrons que MJ=1
[tex]MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0)^2+(\dfrac{3}{2}-1)^2}\\\\MJ=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(\dfrac{1}{2})^2}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}}\\\\MJ=\sqrt{\dfrac{4}{4}}=1[/tex]
3) a) Une équation de (BM) est de la forme y = ax + b.
Calcul du coefficient directeur :
[tex]a=\dfrac{y_M-y_B}{x_M-x_B}=\dfrac{\dfrac{3}{2}-2}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-0}\\\\a=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{3}}[/tex]
L'ordonnée à l'origine de la droite est b = 2 puisque la droite passe par le point B(0;2)
D'où [tex](BM) : y =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2[/tex]
Les coordonnées de D s'obtiennent en remplaçant y par 0 dans l'équation de (BM).
[tex]0 =\dfrac{-1}{\sqrt{3}}x+2\\\\\dfrac{1}{\sqrt{3}}x=2\\\\x=2\sqrt{3}[/tex]
D'où [tex]D(2\sqrt{3} ; 0)[/tex]
b) Par conséquent, nous avons [tex]K(\sqrt{3} ; 0)[/tex]
4) Vérifions si l'égalité de Pythagore est vérifiée dans le triangle JMK, c'est-à-dire si nous avons : JK² = JM² + MK²
[tex]JM=1[/tex] (rayon du cercle centré en J)
**************************************
[tex]MK=\sqrt{(\sqrt{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(0-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2+(-\dfrac{3}{2})^2}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4}}\\\\MK=\sqrt{\dfrac{12}{4}}\\\\MK=\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\\\\MK=\sqrt{3}[/tex]
**************************************
[tex]JK=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^2+(0-1)^2}\\\\JK=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}\\\\JK=\sqrt{3+1}\\\\JK=\sqrt{4}=2[/tex]
**************************************
[tex]JM^2+MK^2=1^2+(\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4\\\\JK^2 = 2^2 = 4[/tex]
Donc la relation de Pythagore est vérifiée.
Par la réciproque de son théorème, nous pouvons dire que le triangle JMK est rectangle en K.
